基于l_p正则化图像去模糊的快速广义迭代收缩算法

基于 l p 正则化图像去模糊的快速广义迭代收缩算法 Image Deblurring via Fast Generalized Iterative Shrinkage Thresholding Algorithm for l p Regularization 1 2 first-author 王鹏, 男, 讲师, 博士生, 现从事矩阵计算, 图像处理中的矩阵与张量算法方面的研究. E-mail:p_wong@126.com 王鹏, 男, 讲师, 博士生, 现从事矩阵计算, 图像处理中的矩阵与张量算法方面的研究. E-mail: p_wong@126.com p_wong@126.com 2 2 corresp 熊盛武, E-mail:swxiong@whut.edu.cn 熊盛武, E-mail:swxiong@whut.edu.cn swxiong@whut.edu.cn 五邑大学 数学与计算科学学院, 广东 江门 529020 五邑大学 数学与计算科学学院, 广东 江门 529020 School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, Guangdong, China School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, Guangdong, China 武汉理工大学 计算机科学与技术学院, 湖北 武汉 430070 武汉理工大学 计算机科学与技术学院, 湖北 武汉 430070 School of Computer Science and Technology, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, Hubei, China School of Computer Science and Technology, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, Hubei, China 将图像去模糊问题转化为求解 l p 正则化的非凸优化问题, 提出了一种求解 l p 正则化问题的快速广义迭代收缩算法(FGISA, fast generalized iterative shrinkage thresholding algorithm).该算法通过对广义迭代收缩算法(GISA, generalized iterative shrinkage thresholding algorithm)的梯度项添加一个加权矩阵, 并结合Nesterov梯度加速方法达到加快算法收敛速度的目的.由于加权矩阵仅仅与模糊矩阵有关, 并且不随迭代过程变化, 因此, 与GISA相比FGISA并不增加算法的计算复杂度.文章给出了算法收敛性的理论分析.实验结果表明FGISA算法在收敛速度和图像恢复效果方面对GISA算法均有较大的改进. Image deblurring was formulated as an optimization problem regularized by l p norm. A fast generalized iterative shrinkage thresholding algorithm (FGISA) was proposed to solve it. The FGISA algorithm accelerated the generalized iterative shrinkage thresholding algorithm (GISA) by multiplying a weighting matrix to the gradient function of the GISA together with the well-known Nesterov's strategy. Since the weighting matrix was only predetermined by the blur kernel and fixed, therefore, comparing with GISA, FGISA did not increase the computational complexity. Numerical experiments are presented that demonstrate the improved performance of the FGISA over GISA both in speed and accuracy. 图像去模糊 l p 正则化 迭代收缩算法 加权矩阵 image deblurring regularized shrinkage thresholding algorithm weighting matrix 引言 1 图像去模糊是图像处理中的一个经典问题，关于这一问题的模型和算法已有大量的研究成果.由于图像去模糊问题是一个病态反问题，因此，常用的去模糊方法是对该问题进行正则化.研究表明，人的视觉感知系统具有稀疏性的特点，近年来，基于稀疏表示的图像处理方法得到了广泛关注和深入地研究 [ 1 1 ~ 7 7 1~7 ] .通过对图像去模糊进行 l 0 范数(向量中非零元素的个数)正则化可以得到满足稀疏性约束的解，因此，基于稀疏表示的图像去模糊问题一般转化为以 l 0 范数为正则化项的优化问题.然而， l 0 范数是一个非凸非连续的函数，这就使得相应的优化问题难以求解 [ 2 2 ] .由于 l 1 范数( http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459781&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459781&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459781&type=middle )是 l 0 范数的凸包并且具有连续性，很多研究者将 l 0 范数正则化问题转化为 l 1 范数正则化问题 [ 3 3 , 4 4 , 8 8 ] ，进而用凸优化方法求解.尽管 l 1 范数正则化在某些特定的情况下可以得到和 l 0 范数等价的解 [ 4 4 ] ，然而，在更一般的情况下， l 1 范数只能得到稀疏约束问题的次优解.为了解决这一问题，很多研究开始关注 l p 0＜ p ＜1范数( http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459784&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459784&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459784&type=middle )正则化的最优化问题，理论和实验也证明了 l p 范数可以得到比 l 1 范数更稀疏的解 [ 2 2 ] ，并且在某些应用领域 l p 范数正则化能得到比 l 1 范数正则化更理想的效果. 与 l 0 范数相比，尽管 l p 范数具有连续性，但相对于 l 1 范数而言它却失去了凸性，这就使得 l p 正则化问题难以用凸优化算法求解.目前， l p 正则化的计算问题得到了广泛关注，并已经取得了一些比较有意义的成果：徐宗本等 [ 9 9 ] 提出了求解 l 1/2 问题的有效算法，并对 l 1/2 正则化问题进行了深入分析；受到求解 l 1 正则化问题的ISTA(iterative shrinkage thresholding algorithm) [ 8 8 ] 的启发，Zuo等 [ 2 2 , 5 5 ] 提出了GISA(generalized iterative shrinkage thresholding algorithm)用于求解 l p 正则化问题，与ISTA相比，GISA采用不同的求收缩算子的方法，而迭代形式和ISTA几乎相同；Gong等 [ 10 10 ] 提出了一种基于非单调搜索的迭代阈值收缩算法用于求解 l p 正则化问题；余义斌等 [ 7 7 ] 提出了一种以凹凸范数比值为正则化项的图像去模糊方法，并采用交替增广拉格朗日乘子法进行求解. 本文主要讨论基于 l p 范数约束的图像去模糊问题，在GISA的基础上 [ 5 5 ] ，给出一种解决该问题的快速迭代算法(FGISA，fast generalized iterative shrinkage thresholding algorithm). 问题描述 1 一幅退化图像的获取过程可以表示为： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459716&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459716&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459716&type=middle 其中： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459786&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459786&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459786&type=middle 是一个模糊矩阵， http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459788&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459788&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459788&type=middle 是理想图像， η 为噪声， http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459790&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459790&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459790&type=middle 为获取的退化图像.图像去模糊问题就是由模糊图像 b 出发求解理想图像 x 的过程.由于模糊矩阵 H 是一个高度病态矩阵，因此，该问题是一个病态反问题，而求解病态问题的一个常用方法就是将其正则化.本文主要考虑 l p 范数正则化的图像去模糊问题： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459720&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459720&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459720&type=middle 其中： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459792&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459792&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459792&type=middle 常被称为数据拟合项，‖ x ‖ p p 被称为正则化项. 针对问题(2)的特点，结合其与 l 1 正则化问题的相似性，采用求解 l 1 正则化问题的ISTA算法 [ 8 8 ] 的思想，Zuo等人提出了GISA算法 [ 2 2 , 5 5 ] 用于求解问题(2)，该算法的核心是求出一个类似于ISTA算法的收缩算子，Zuo采用解析的方法推导出了求解 l p 范数正则化所需要的广义阈值收缩算子，并给出了相应的算法GST (generalized shrinkage thresholding)： Algorithm GST Input: b , λ , p , J Step 1   http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459796&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459796&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459796&type=middle Step 2  if | b |≤ τ p ( λ ) Step 3   T p ( b , λ )=0 Step 4  else Step 5   k =0, x ( k ) =| b | Step 6  for   k =0: J Step 7   x ( k +1) =| b |－ λp ( x ( k ) ) p －1 Step 8   k ← k +1 Step 9   T p ( b , λ )=sgn ( b ) x ( k ) Step 10  end Output: T p ( b , λ ) GISA算法可以看作是两个算子的复合，即：以GST算法构成的收缩算子与拟合项的梯度算子的复合.从而求解问题(2)的GISA迭代算法为： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459723&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459723&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459723&type=middle 其中： τ ∈(0, 2/ λ max )， λ max 为 H T H 的最大特征值.迭代次数 J 趋向于无穷大时，GST算法的解可以逼近解析解，然而，实验表明 J 取2或者3就可以达到比较理想的效果. 由于GISA算法是ISTA算法的推广，因此，这两种算法具有类似的收敛速度.为了改进ISTA算法的收敛速度，受到Nesterov [ 11 11 ] 提出的梯度加速算法的启发，Beck等 [ 3 3 ] 提出了FISTA(fast iterative shrinkage thresholding algorithm)算法.FISTA算法是求解 l 1 正则化问题的一种重要算法，对该算法进行改进是目前的一个研究热点 [ 12 12 ~ 16 16 12~16 ] .Shen等 [ 17 17 ] 改进了FISTA算法，并将其应用于求解基于框架小波的图像复原问题; Tan等 [ 18 18 ] 提出了Dual-channel FISTA算法，解决雷达扫描过程中弱背景下的稀疏目标成像问题; Zibetti [ 19 19 ] 将快速线性搜索引入FISTA中，以达到加速单调FISTA算法的目的.为了改进FISTA算法的稳定性并提高其收敛速度，Zulfiquar等 [ 4 4 ] 提出了IFIST(improved fast iterative shrinkage thresholding)算法，使得ISTA算法的收敛速度得到了进一步的提升.然而，目前尚未发现对GISA算法收敛速度的改进工作，本文将对该算法进行收敛速度上的改进. 快速广义迭代阈值收缩算法 1 为了得到更快速的求解问题(2)的算法，本节首先对GISA算法进行分析，并在此基础上给出一种改进的GISA算法. 为了叙述方便，问题(2)中的拟合项简记为： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459728&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459728&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459728&type=middle 迭代阈值收缩算法可以看作是由拟合项构造的梯度算子和正则化项构造的收缩算子的复合，拟合项的梯度下降算法为： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459732&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459732&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459732&type=middle 其中： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459735&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459735&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459735&type=middle 设 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459800&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459800&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459800&type=middle ，将其带入(5)式并化简： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459739&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459739&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459739&type=middle 设 H 的谱分解为 H = U Λ V T ，将其带入(7)式： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459743&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459743&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459743&type=middle 将上式两边同时左乘以 V T ，并记 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459747&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459747&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459747&type=middle 则(8)式可化为： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459750&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459750&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459750&type=middle 对于任意的步长 τ ∈(0, 1/ λ max )矩阵 I - τ Λ 2 的特征值小于1.从而，由(9)式可知初始向量 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459801&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459801&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459801&type=middle 收敛非常缓慢.而由于图像去模糊问题中 H 是一个高度病态的矩阵，所以(3)式收敛速度非常缓慢. 基于以上分析，将梯度算法(5)改进为： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459753&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459753&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459753&type=middle 其中 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459803&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459803&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459803&type=middle ， C n j 为组合数.事实上， K n 是在基于对GISA算法的收敛性分析基础上构造出来的，从第3节关于FGISA算法的收敛性证明过程中将会看到， K n 相当于对原GISA的迭代增加了一个加权项，从而达到加速GISA算法的目的. 以(10)为拟合项的梯度下降迭代结合GST算法得到求解问题(2)的快速广义迭代阈值收缩算法FGISA： Algorithm FGISA Input: b , λ , p , J , t 0 , z (0) , τ , Iter Step 0  Compute K n Step 1  for   k =1: Iter Step 2  temp= z ( k －1) － τ K n H T ( Hz ( k －1) － b ) Step 3   x ( k ) =GST(temp, τλ , p , J ) Step 4   http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459806&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459806&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459806&type=middle Step 5   http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459807&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459807&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459807&type=middle Step 6   x = x (Iter) Output: x 收敛性分析 1 本节将深入分析FGISA算法的收敛性，给出该算法优于GISA算法的理论基础. 事实上，当采用(10)式作为梯度迭代算法的时候，相应于(7)式， http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459810&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459810&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459810&type=middle 迭代形式为： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459756&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459756&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459756&type=middle 通过对比(11)和(7)式可知，(11)式的第一项是(7)式第一项的 n 次方，因此，对于相同的步长 τ ，迭代算法(10)要比算法(5)更稳定. 为了更明确的表达加权矩阵 K n 对算法收敛速的影响，将(11)式化为关于初始点的迭代结果.在(11)式中，仍然将模糊矩阵 H 进行谱分解，即 H = UΛV T ，并将其带入(11)式可得： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459759&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459759&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459759&type=middle 将上式两边同时左乘以 V T 并记： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459761&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459761&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459761&type=middle 则上式可化为： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459763&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459763&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459763&type=middle 又因为： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459765&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459765&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459765&type=middle 将其带入(12)式可得： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459767&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459767&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459767&type=middle 将(13)式化为关于初始向量 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459812&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459812&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459812&type=middle 的表达式为： http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459769&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459769&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459769&type=middle 通过对比(9)和(14)式可以看出，算法(5)第 k 步迭代时将 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459813&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459813&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459813&type=middle 近似衰减为 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459815&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459815&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459815&type=middle ，而算法(10)第 k 步迭代时将 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459817&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459817&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459817&type=middle 近似衰减为 http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459820&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459820&type=small http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=4459820&type=middle ，即算法(10)是收敛速度远快于算法(5).此外，由(10)式可知， K n 仅仅是模糊矩阵 H 的函数并且不随着迭代的进行而改变，因此，在算法中只需要在迭代进行之前计算一次 K n 即可，所以在迭代过程中添加了加权矩阵 K n 的FGISA相对于GISA几乎不增加计算量. 理论上讲，FGISA的复杂度和文献[ 4 4 ]算法复杂度是相同的.在一次迭代中，FGISA算法复杂度主要由Step 0中 K n 的计算和Step 2中的矩阵乘法构成.设 H 是大小为 p × q 的矩阵，则Step 0中 K n 的计算复杂度为 O ( p ) 3 n .Step 1中3个矩阵乘法的复杂度是 O ( p 6 )，从而，FGISA的复杂度为 O ( p s ), s =max(3 n , 6)，这样看来FGISA的复杂度比较高.庆幸的是，图像复原问题卷积核的尺寸一般都很小(比如，本文的卷积核尺寸最大为9×9)，更重要的是，可以借助2维FFT有效降低算法的复杂度. 数值实验 1 本节用实验验证FGISA的性能.通过将FGISA与GISA [ 5 5 ] 进行对比，验证本文给出的加速算法对原算法GISA的加速效果，同时该实验还将FGISA与FISTA [ 3 3 ] 进行了对比.由于FISTA是求解 l 1 正则化问题，通过FGISA与FISTA的对比，用以证明非凸 l p 正则化在图像去模糊问题中比 l 1 正则化有更优越的性能. 为了排除随机因素对算法结果的影响，我们选取8幅256×256的图像进行实验(如 图 1 图 1 ).对这些图像先用标准差为3，大小分别为3×3，5×5和9×9尺寸的模糊核对原始图像进行模糊，然后加入标准差为1E－3的高斯噪声，生成测试图像.需要说明的是，在实验中收缩算子并没有直接作用于图像本身，而是作用于图像的4阶Haar小波变换结果.此外，算法中其他参数的选择为： λ =1E-4, p =0.8, J =2.加权矩阵 K n 选为8阶矩阵，即 K 8 . 分别采用GISA, FISTA和FGISA算法对退化图像进行300次迭代恢复的峰值信噪比(PSNR)，如 表 1 表 1 ，性能最好的结果以粗体字显示.从 表 1 表 1 可以看出，对于不同尺寸的模糊核以及不同的图像，FGISA的结果都是最好. 5 dB 2 Image 2 Kernel Size 3 Algorithm GISA FISTA FGISA Baboon 3×3 31.37 32.77 34.47 5×5 27.26 28.31 29.95 9×9 24.24 24.73 25.64 Barbara 3×3 33.46 35.05 37.27 5×5 30.52 31.45 32.68 9×9 26.47 27.39 28.64 Boats 3×3 36.13 37.99 39.18 5×5 30.84 32.59 34.58 9×9 25.50 26.75 28.59 Camera 3×3 36.16 38.00 39.53 5×5 30.65 32.46 34.73 9×9 25.42 26.71 28.67 Monarch 3×3 37.79 39.31 40.10 5×5 32.16 34.01 35.40 9×9 25.96 28.03 29.54 Satellite 3×3 37.35 39.90 42.64 5×5 31.13 33.34 36.55 9×9 26.04 27.60 29.23 Man 3×3 36.03 37.64 38.80 5×5 31.00 32.38 33.96 9×9 26.44 27.38 28.69 Peppers 3×3 39.97 41.71 41.92 5×5 34.52 36.13 37.37 9×9 28.64 30.20 31.69 为了凸显各种算法的效果，展示各种算法对图像细节的恢复能力.在 图 2(a) 图 2(a) ~ (e) (e) 分别给出了Camera所对应的原图、退化图以及分别采用GISA，FISTA和FGISA算法进行1 000次迭代的实验结果.特别地，为了直观的显示实验结果，使实验结果更符合的视觉感受， 图 2(a) 图 2(a) ~ (e) (e) 对实验结果选取了各对应图像同一位置的图像进行放大， 图 2 图 2 中右上角子图像是由绿色矩形内的图像放大2倍后得到的.从放大后的子图像可以看出，FGISA算法在恢复效果上比GISA算法和FISTA算法恢复出了更多的细节信息. 为了客观评价各算法对图像Camera去模糊的效果，本文采用了提升信噪比(ISNR)进行评价，3种算法的对应的ISNR值如 图 3 图 3 所示.从 图 3 图 3 的ISNR图像可以看出，FGISA的ISNR值最大，也就是其客观评价效果最好.此外， 图 3 图 3 还表明，相比GISA和FISTA，FGISA采用最少的迭代步数就可以达到较为理想的实验结果. 对3种算法GISA, FGISA和FISTA的运行时间进行对比. 表 2 表 2 给出了3种去模糊算法的运行 > 时间.从 表 2 表 2 中可以看出，加速以后的FGISA和GISA的运行时间大致相同，这表明本文所采用的加速方法并没有明显增加原算法的运行时间.尽管FISTA相对于GISA和FGISA在时间上具有一定优势，但是FISTA求解的是 l 1 正则化的凸优化问题，而GISA和FGISA求解的是 l p 正则化的非凸问题，并且从 表 1 表 1 和 表 2 表 2 可以看出FGISA相对于FISTA取得了更理想的图像复原效果. 4 s 图集 GISA [ 5 5 ] FISTA [ 3 3 ] FGISA Baboon 72 55 82 Barbara 83 33 63 Boats 72 26 66 Camera 79 47 84 Monarch 70 42 82 Satellite 43 45 40 Man 67 30 79 Peppers 51 45 64 结论 1 本文采用 l p 正则化方法求解图像去模糊问题，给出了求解 l p 正则化图像去模糊模型的一种快速算法，从理论上分析了该快速算法加快收敛速度的内在实质，并通过数值实验验证了算法的有效性和优越性. 由于算法加速需要用到加权矩阵，因此，本算法的实验主要针对模糊核已知的图像去模糊问题.将本算法用于模糊核未知的盲去模糊问题将是接下来的一个主要研究方向. 参考文献 朱华平, 吴传生, 周俊, 等.散焦模糊图像复原的截断奇异值分解算法[J].武汉大学学报(理学版), 2010, 56(4):391-394. 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