Power Lindley-Logarithmic分布及其参数估计

Power Lindley-Logarithmic分布及其参数估计 Power Lindley-Logarithmic Distribution and Parameter Estimation 1 first-author 王泽琪，女，硕士生，现从事数理统计方面的研究. E-mail:wang_zeqi@whu.edu.cn 王泽琪，女，硕士生，现从事数理统计方面的研究. E-mail:wang_zeqi@whu.edu.cn wang_zeqi@whu.edu.cn 1 corresp E-mail: lqliu@whu.edu.cn E-mail: lqliu@whu.edu.cn lqliu@whu.edu.cn 武汉大学 数学与统计学院,湖北 武汉 430072 武汉大学 数学与统计学院,湖北 武汉 430072 School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072, Hubei, China School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072, Hubei, China 将Power Lindley分布和Logarithmic分布“混合”得到一个危险率形式多样的新型寿命分布Power Lindley-Logarithmic（PPL）分布，研究了该分布的矩、分位数、危险率函数、顺序统计量的极限分布和参数的极大似然估计（maximum likelihood estimation，MLE)，验证了极大似然估计的相合性和渐近正态性，应用EM(expectation-maximization)算法求参数的极大似然估计，并进行了Monte Carlo模拟.模拟实验表明,EM算法得到的参数的极大似然估计很好地反映了参数的真值，且PPL分布参数的极大似然估计具有良好的渐近正态性. This paper proposes a new lifetime distribution named Power Lindley-Logarithmic distribution (PLL) by compounding the Power Lindley distribution and the Logarithmic distribution. In the paper, its moment, quantile, hazard rate function, limiting distribution of the order statistics and the MLE(maximum likelihood estimation) of the parameters are discussed, the consistency and asymptotic normality of the MLE are verified, and EM (expectation-maximization) algorithm is used to get the MLE. In the end, the paper carries out Monte Carlo simulation which indicates that the MLE obtained by EM algorithm perfectly reflects the true value of the parameters, and the parameters’ MLE of the PPL distribution have good asymptotic normality. Power Lindley 分布 Logarithmic分布 极大似然估计 EM算法 power Lindley distribution Logarithmic distribution maximum likelihood estimation (MLE) EM algorithm 王泽琪,刘禄勤.Power Lindley-Logarithmic分布及其参数估计[J].武汉大学学报（理学版）,2019,65(6):581-592. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.008. 0　 引 言 1 寿命分布的研究在科学技术领域中占有重要地位，随着寿命分布理论的逐步发展，人们陆续提出了多种产生寿命分布的机制，为寿命数据的研究提供了便利。1979年，马逢时和刘德辅提出复合极值分布概念 [ 1 1 ] ,将一个连续分布与一个离散分布混合得到一个新的连续型分布，这种产生分布的方法在极值事件的研究中受到重视，其基本思想是设 <math id="M1"><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.11866570 4.57200003 为独立随机变量序列且有相同的分布函数 <math id="M2"><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.88999939 3.55599999 ，又设 Z 是与 <math id="M3"><mtext>{</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi>z</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 25.31533432 4.65666676 相互独立的离散随机变量且其分布律为 P z =P ( Z=z )，记 X =min <math id="M4"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.55799866 4.91066647 ，则称 X 服从由 <math id="M5"><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.88999939 3.55599999 和 P z 复合而成的分布,它表示串联系统的寿命分布。由于 <math id="M6"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>≤</mtext><mi>i</mi><mtext>≤</mtext><mi>z</mi></mrow></munder><mtext>{</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>}</mtext><mtext>=</mtext><mtext>-</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>≤</mtext><mi>i</mi><mtext>≤</mtext><mi>z</mi></mrow></munder><mtext>{</mtext><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 43.68799973 4.91066647 ，故对于极大值的研究与极小值相似。根据这种机制，人们提出了很多新型的寿命分布。Kuş [ 2 2 ] （2007年)将指数分布与泊松分布复合，提出两参数的Exponential-Possion分布；随后，Tahmasbi和Rezaei [ 3 3 ] (2008年)将指数分布与Logarithmic分布复合，提出两参数的Exponential-Logarithmic分布。在指数分布与离散分布复合取得进展后，人们开始转向更多连续分布与离散分布复合的探索。Lu等 [ 4 4 ] （2012年）将Weibull分布和Possion分布复合，提出三参数的Weibull-Possion分布，并进行了实际应用；Zakerzadeh和Mahmoudi [ 5 5 ] （2012年）提出Lindley-Geometric分布，并表示Lindley分布为该分布的一种特殊形式；Gui等 [ 6 6 ] （2014年）将Lindley分布和Possion分布复合，提出Lindley-Possion分布；吕晓星等 [ 7 7 ] （2015年）将Pareto分布和Possion分布复合，提出Pareto-Logarithmic分布；Liyanage等 [ 8 8 ] （2015年）提出Lindley-Logarithmic分布，并与Exponential-Possion分布、Exponential-Logarithmic分布等进行了比较，表明了该分布的良好适用性。这些文献对所提出的分布进行了研究，得到其各阶矩、熵、参数的极大似然估计(maximum likelihood estimation, MLE)及参数估计的EM算法等。本文在研究新分布的性质中，借鉴了前人的思路，同时由于极大似然估计形式的复杂性，也采用了便于求解的EM算法。 1958年Lindley [ 9 9 ] 提出一种以权重 <math id="M7"><mfrac><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.22866726 7.70466709 和 <math id="M8"><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.22866726 7.62000036 将 <math id="M9"><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.42999935 3.72533321 分布与 <math id="M10"><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.16666603 3.55599999 分布混合得到的分布，称为参数为 <math id="M11"><mi>θ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.77800000 2.79399991 的Lindley分布，其密度函数为 <math display="block" id="M12"><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><mi>x</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi><mtext>)</mtext></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 65.87066650 7.95866680 Ghitany等 [ 10 10 ] （2008年）对Lindley分布进行了详细地研究，发现多数情况下Lindley分布具有比指数分布更好的性质，在生存分析与可靠性的研究中意义深远。Ghitany等 [ 11 11 ] （2013年）对Lindley分布进行推广得到两参数的Power Lindley分布，其密度函数为 <math display="block" id="M13"><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi>α</mi><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi><mtext>)</mtext></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 90.25466919 8.46666718 和Possion分布、几何分布一样，Logarithmic分布是一种离散计数分布，该分布来源于 <math id="M14"><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.71133423 3.72533321 的麦克劳林展开即 <math id="M15"><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>p</mi><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>/</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mtext>/</mtext><mn mathvariant="normal">3</mn><mtext>+</mtext><mtext>⋯</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 57.15000153 4.14866638 。Johnson等 [ 12 12 ] 详细研究了Logarithmic分布作为计数分布的重要性以及其各种性质。该分布在植物以及生物学领域研究中有广泛应用。 本文将Power Lindley（PL)分布与Logarithmic分布进行复合得到一个危险率形式多样的新的三参数寿命分布：Power Lindley-Logarithmic(PLL)分布，研究其相关性质，给出了参数的极大似然估计，并验证了估计的相合性和渐近正态性，给出了求解极大似然估计的EM算法，并进行了Monte Carlo数值模拟。 1　 Power Lindley-Logarithmic分布的定义 1 设 <math id="M16"><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.98133469 4.57200003 为独立同分布的非负随机变量序列，其共同分布是参数为 <math id="M17"><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.55133343 3.55599999 的Power Lindley分布，记为 <math id="M18"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.71600056 3.55599999 ，其密度函数如（1）式所述，分布函数为 <math display="block" id="M19"><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi><mtext>)</mtext></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 106.51065826 9.39799976 又设 Z 是与 <math id="M20"><mtext>{</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi>z</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 25.99266624 4.65666676 相互独立的随机变量，服从参数为 <math id="M21"><mi>p</mi><mtext>∈</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.81666660 3.72533321 的Logarithmic分布，其分布律为 <math display="block" id="M22"><mi>P</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>=</mtext><mi>z</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>z</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>,</mtext><mi>z</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 53.25532913 8.72066689 令 <math id="M23"><mi>X</mi><mtext>=</mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>{</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>Z</mi></mrow></msub><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 35.22133255 4.65666676 ，则易见 <math id="M24"><mi>X</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.62466669 2.79399991 的分布函数为 <math display="block" id="M25"><mi>F</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.06599998 3.72533321 <math display="block" id="M26"><mtext>=</mtext><mi>P</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>≤</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.91266632 3.64066648 <math display="block" id="M27"><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.79399991 <math display="block" id="M28"><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>z</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>≤</mtext><mi>i</mi><mtext>≤</mtext><mi>Z</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>></mtext><mi>x</mi><mtext>|</mtext><mi>Z</mi><mtext>=</mtext><mi>z</mi></mrow></mfenced><mi>P</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>=</mtext><mi>z</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>z</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msup><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>z</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 131.57199097 8.72066689 <math display="block" id="M29"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi><mtext>)</mtext></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 75.09933472 20.31999969 称此分布为以 <math id="M30"><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.86933327 3.72533321 为参数的Power Lindley-Logarithmic分布，记为 <math id="M31"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 ，易见其密度函数为 <math display="block" id="M32"><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi>α</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 42.58733368 8.63599968 <math display="block" id="M33"><mtext> </mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi><mtext>)</mtext></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 69.17266846 9.90599918 特别地，当 <math id="M34"><mi>α</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.63599968 2.79399991 时， <math id="M35"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 就是Liyanage [ 8 8 ] 等提出的参数为 <math id="M36"><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 5.41866684 3.72533321 的Lindley-Logarithmic分布，简记为 <math id="M37"><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.47799969 3.72533321 分布。 2　 Power Lindley-Logarithmic分布的性质 1 由（5）式，容易得出：当 <math id="M38"><mi>α</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.39799976 2.79399991 且 <math id="M39"><mi>θ</mi><mtext>≥</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.86466599 3.30199981 或 <math id="M40"><mi>α</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.63599968 2.79399991 且 <math id="M41"><mi>p</mi><mtext>≥</mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.41399956 4.06400013 时， <math id="M42"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 为单峰分布；当 <math id="M43"><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><mtext><</mtext><mi>α</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.28800011 7.53533316 且 <math id="M44"><mi>θ</mi><mtext>≥</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>α</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.21933365 7.62000036 或 <math id="M45"><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext><</mtext><mi>α</mi><mtext>≤</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.20333290 7.53533316 或 <math id="M46"><mi>α</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.63599968 2.79399991 且 <math id="M47"><mi>p</mi><mtext>≤</mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.41399956 4.14866638 时, <math id="M48"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的函数单调递减。 图1 图1 给出 <math id="M49"><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.47333336 3.81000018 在参数取某些特定值时 <math id="M50"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的密度函数。 定理1 设 <math id="M53"><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext><</mtext><mi>u</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.76399994 2.79399991 . <math id="M54"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的 <math id="M55"><mi>u</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 ⁃ 分位数为 <math display="block" id="M56"><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>u</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>u</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 97.36666107 12.69999981 其中 <math id="M57"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mtext>⋅</mtext><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.93799973 4.48733330 表示Lambert W函数的负数部分，即方程 <math id="M58"><mi>W</mi><mtext>(</mtext><mi>z</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>W</mi><mtext>(</mtext><mi>z</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>=</mtext><mi>z</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 23.19866753 3.81000018 的负数解 [ 13 13 ] 。 证 令 <math id="M59"><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mi>u</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 83.65066528 9.48266697 ,其中 <math id="M60"><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext><</mtext><mi>u</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.76399994 2.79399991 ，得 <math id="M61"><mi>G</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>u</mi></mrow></msup><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 28.27866745 8.72066689 。又由文献[ 11 11 ]知Power Lindley分布的 <math id="M62"><mi>ν</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.43933344 2.79399991 -分位数为 <math display="block" id="M63"><msup><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>ν</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>ν</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 80.85666656 11.85333347 故可得 <math id="M64"><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>u</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>u</mi></mrow></msup><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 51.13866806 9.39799976 <math id="M65"><mtext>=</mtext><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>u</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 73.82933807 12.69999981 。 定理2 设 <math id="M66"><mi>r</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.52399993 2.79399991 为正整数。 <math id="M67"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 的 <math id="M68"><mi>r</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.52399993 2.79399991 阶原点矩存在，且 <math display="block" id="M69"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></mover><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>j</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 63.75400162 9.48266697 · <math display="block" id="M70"><msup><mrow><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mtext>+</mtext><mi>i</mi><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>[</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>j</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi><mtext>+</mtext><mi>i</mi><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mtext>+</mtext><mi>i</mi><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>[</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>j</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi><mtext>+</mtext><mi>i</mi><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 77.04666901 16.76399994 证 由（5）式易看出， <math id="M71"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的密度函数是与 <math id="M72"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.71600056 3.55599999 分布的分布函数 <math id="M73"><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.84866714 3.55599999 和密度函数 <math id="M74"><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.00200081 3.72533321 有关的函数，即 <math display="block" id="M75"><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 80.77200317 8.63599968 又文献[ 11 11 ]证明了 <math id="M76"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.71600056 3.55599999 分布存在有限的各阶矩，故 <math display="block" id="M77"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mtext>|</mtext><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mtext>|</mtext><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfrac><mrow><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow></mfrac></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>≤</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 128.10067749 8.63599968 <math display="block" id="M78"><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 49.95333481 8.46666718 所以 <math id="M79"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 的 <math id="M80"><mi>r</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.52399993 2.79399991 阶原点矩存在。又因为 <math id="M81"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow></mfenced><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.68333054 9.39799976 ，故可利用公式 <math id="M82"><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>z</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>+</mtext><mi>j</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>)</mtext><mi>j</mi><mtext>!</mtext></mrow></mfrac><msup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 42.33333206 8.97466660 ， <math id="M83"><mtext>|</mtext><mi>z</mi><mtext>|</mtext><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.49866676 3.47133350 ，对 <math id="M84"><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 50.63066864 10.15999985 进行展开，易得 <math display="block" id="M85"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>E</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi>α</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><mi>j</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi>α</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></mover><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>j</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><msup><mrow><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msup><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext></mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>i</mi><mtext>)</mtext><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>j</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></mover><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>j</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><msup><mrow><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mtext>+</mtext><mi>i</mi><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>[</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>j</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi><mtext>+</mtext><mi>i</mi><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mtext>+</mtext><mi>i</mi><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>[</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>j</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi><mtext>+</mtext><mi>i</mi><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 141.73199463 47.83666611 下面给出 <math id="M86"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的危险率函数，先回顾相关定义。非负随机变量 <math id="M87"><mi>X</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.62466669 2.79399991 的分布函数为 <math id="M88"><mi>F</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.55133343 3.55599999 ，密度函数为 <math id="M89"><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.78933334 3.81000018 ，其生存函数为 <math id="M90"><mi>S</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>F</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.77066803 3.55599999 ，危险率函数为 <math id="M91"><mi>h</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>S</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.92866707 8.38199997 。 由此得 <math id="M92"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的生存函数为 <math display="block" id="M93"><mi>S</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>F</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>p</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 108.28866577 14.13933372 定理3 若随机变量 <math id="M94"><mi>X</mi><mtext>~</mtext><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.24666595 3.72533321 分布,则其危险率函数为 <math display="block" id="M95"><mi>h</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>α</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 141.22399902 14.90133286 且 <math display="block" id="M96"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mtext>→</mtext><msup><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mtext>+</mtext></mrow></msup></mrow></munder><mi>h</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">∞</mi><mtext>,</mtext></mtd><mtd><mi>α</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>α</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>,</mtext></mtd><mtd><mi>α</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext></mtd><mtd><mi>α</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 72.13600159 20.31999969 <math display="block" id="M97"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><mi>h</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext></mtd><mtd><mi>α</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>θ</mi><mtext>,</mtext></mtd><mtd><mi>α</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">∞</mi><mtext>,</mtext></mtd><mtd><mi>α</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 51.39266586 14.81666660 证 由（6）式和危险率函数的定义即得（7）式。（8）式显然成立，利用洛必达法则易得（9）式。证毕。 图2 图2 和 图3 图3 给出不同参数下 <math id="M98"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的危险率函数。可见 <math id="M99"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的危险率函数可以有单调递增型、浴盆型、先单调增再浴盆型、单调递减型四种类型。 定理4 设 <math id="M104"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.08199883 3.89466667 是来自 <math id="M105"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的简单随机样本，其分布函数 <math id="M106"><mi>F</mi><mtext>(</mtext><mtext>⋅</mtext><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>F</mi><mtext>(</mtext><mtext>⋅</mtext><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 31.15733337 3.72533321 如（4）式所述，记 <math id="M107"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></msub><mtext>=</mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>{</mtext><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 41.23266602 4.48733330 ，则有 <math display="block" id="M108"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><mi>P</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></msub><mtext>≤</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 46.48200226 5.24933338 其中 <math id="M109"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 28.53266716 9.56733322 。 证 记 <math id="M110"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的密度函数为 <math id="M111"><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mtext>⋅</mtext><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mtext>⋅</mtext><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 29.54866600 3.81000018 ，由（5）式及洛必达法则有 <math display="block" id="M112"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mi>F</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>F</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mi>x</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfrac><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>]</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>⋅</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>[</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>]</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 140.12333679 20.40466690 再利用文献[ 14 14 ]定理2.1.5及定理2.4.4即知定理得证。 3　 参数的极大似然估计 1 设 <math id="M113"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.08199883 3.89466667 是来自 <math id="M114"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的简单随机样本，样本观测值为 <math id="M115"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.30399895 3.89466667 ，记 <math id="M116"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">b</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>{</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 32.59666443 4.48733330 ，则由（5）式知对数似然函数为 <math display="block" id="M117"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>l</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>;</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">b</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>n</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>[</mtext><mi>α</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext><mi>α</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>n</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>θ</mi><mtext>-</mtext><mi>n</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>-</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>θ</mi><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>-</mtext><mi>n</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 158.58067322 19.64266586 为方便,记 <math id="M118"><mi>ϕ</mi><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.64266586 3.72533321 ，其极大似然估计为 <math id="M119"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>θ</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.68600082 5.41866684 。下面讨论极大似然估计的存在性与相合性。 <math id="M120"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.86933327 3.72533321 分布的参数空间记为 <math id="M121"><mi>Φ</mi><mtext>=</mtext><mtext>{</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>:</mtext><mi>p</mi><mtext>∈</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><mi>θ</mi><mtext>∈</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><mi>α</mi><mtext>∈</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi><mtext>)</mtext><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 89.06933594 3.81000018 ，令 <math display="block" id="M122"><mi>h</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>,</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>,</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 76.11533356 9.39799976 ， <math display="block" id="M123"><mtext>|</mtext><mi>h</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext><mtext>|</mtext><mtext>=</mtext><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>+</mtext><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>+</mtext><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 89.32333374 9.39799976 则似然方程组可表示为 <math display="block" id="M124"><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mi>h</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 24.12999916 8.46666718 对任意的 <math id="M125"><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>∈</mtext><mi>Φ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.00666714 4.57200003 及充分小的 <math id="M126"><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.14400005 2.96333337 使得球 <math id="M127"><mi>B</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mtext>{</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>:</mtext><mtext>|</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>|</mtext><mtext>≤</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>}</mtext><mtext>⊂</mtext><mi>Φ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 52.66266632 4.82599974 ,记 <math display="block" id="M128"><mi>H</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mtext>|</mtext><mi>h</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext><mtext>|</mtext><mtext>:</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>∈</mtext><mi>B</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 64.76999664 4.82599974 定理5 设 <math id="M129"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.08199883 3.89466667 是来自 <math id="M130"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.86933327 3.72533321 分布的简单随机样本，则存在 <math id="M131"><mi>ϕ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.20133328 3.64066648 的一个强相合估计 <math id="M132"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 38.09999847 5.41866684 ，满足 <math display="block" id="M133"><mi>P</mi><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">对</mi><mi mathvariant="normal">充</mi><mi mathvariant="normal">分</mi><mi mathvariant="normal">大</mi><mi mathvariant="normal">的</mi><mi>n</mi><mtext>,</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">为</mi><mi mathvariant="normal">似</mi><mi mathvariant="normal">然</mi><mi mathvariant="normal">方</mi><mi mathvariant="normal">程</mi><mi mathvariant="normal">组</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">10</mn><mtext>)</mtext><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">的</mi><mi mathvariant="normal">解</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 76.45400238 5.41866684 证 由（5）式易得 <math display="block" id="M134"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>α</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>θ</mi><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext><mtext>,</mtext></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 118.61800385 9.31333351 <math display="block" id="M135"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 93.81066895 8.63599968 , <math display="block" id="M136"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 91.60932922 9.31333351 , <math display="block" id="M137"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>α</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 71.37400055 8.12800026 <math display="block" id="M138"><mtext>-</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.79399991 <math display="block" id="M139"><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 59.26666641 9.31333351 根据文献[ 15 15 ]定理4.7，为证MLE的存在性与相合性，只需证明对 <math id="M140"><mtext>∀</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>∈</mtext><mi>Φ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.20799923 4.57200003 和充分小的 <math id="M141"><mi>ϵ</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.14400005 2.96333337 ，有 <math id="M142"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mi>H</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>,</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.35666656 4.23333359 <math id="M143"><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.72733307 4.65666676 和 <math id="M144"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mtext>|</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>|</mtext><mtext>]</mtext><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 36.15266418 5.07999992 。 事实上， <math id="M145"><mi>h</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.76866722 3.72533321 作为 <math id="M146"><mi>Φ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.87866688 2.79399991 上的函数在 <math id="M147"><mi>B</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.95399952 4.65666676 连续，故存在 <math id="M148"><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>B</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 69.34200287 4.65666676 ， <math id="M149"><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 5.16466665 3.55599999 使得 <math id="M150"><mtext>|</mtext><mi>h</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>|</mtext><mtext>=</mtext><mi>H</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 37.16866684 4.65666676 ，为方便,分别将 <math id="M151"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.14400005 4.65666676 ， <math id="M152"><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.14400005 4.48733330 ， <math id="M153"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.31333351 4.48733330 记为 <math id="M154"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.04799986 4.57200003 ， <math id="M155"><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.96333337 3.72533321 ， <math id="M156"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 3.72533321 ,所以 <math display="block" id="M157"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mi>H</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>ϕ</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>ϕ</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>ϕ</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mtext>≤</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mtext>]</mtext><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mtext>]</mtext><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow></mfrac><mtext>]</mtext><mtext>+</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mtext>]</mtext><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow></mfrac><mtext>]</mtext><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mtext>|</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>α</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mtext>|</mtext></mrow><mrow><mi>ϕ</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>]</mtext><mtext>≤</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext><mtext>+</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>]</mtext><mtext>+</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></msup><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mtext>|</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>α</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mtext>|</mtext></mrow><mrow><mi>ϕ</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>]</mtext></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 170.17999268 66.80200195 显然 <math id="M158"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 44.28066635 5.07999992 。由定理2知 <math id="M159"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>]</mtext><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 42.24866486 5.67266655 和 <math id="M160"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></msup><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 41.99466705 5.92666674 <math id="M161"><mtext>,</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.21733332 故只需证明 <math id="M162"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><mtext> </mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>ϕ</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 45.04266739 12.69999981 。 因为 <math id="M163"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></mrow><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 37.59199905 6.94266701 ，且 <math id="M164"><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.35199928 5.24933338 关于 <math id="M165"><mi>x</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.03200006 2.79399991 为[0,1]上的有界函数，故 <math display="block" id="M166"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mtext>|</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>X</mi><mtext>|</mtext><mtext>]</mtext><mtext>=</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mtext>|</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>|</mtext></mrow><mtext> </mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>≤</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msubsup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>)</mtext></mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></msup><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>+</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>≤</mtext></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 135.12800598 17.52599907 <math display="block" id="M167"><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msubsup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>)</mtext></mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></msup><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 103.63199615 8.80533314 又因为 <math id="M168"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext> </mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 63.92333221 10.15999985 和 <math id="M169"><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.09333420 5.24933338 关于 <math id="M170"><mi>x</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.03200006 2.79399991 分别为 <math id="M171"><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mtext>]</mtext><mtext> </mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.82133293 3.55599999 和 <math id="M172"><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi><mtext>]</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 3.55599999 上的有界函数，且 <math id="M173"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>+</mtext><mi>X</mi><mtext>]</mtext><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 138.76866150 10.15999985 ，所以有 <math display="block" id="M174"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>α</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>ϕ</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mtext>≤</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">ϵ</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msubsup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mtext>⋅</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></msup><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>+</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext> </mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>x</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>+</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>+</mtext><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow></msup><mtext>|</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>X</mi><mtext>|</mtext><mtext>]</mtext><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 133.51933289 47.24399948 从而有 <math id="M175"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mi>H</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 36.83000183 5.07999992 。 又因为 <math display="block" id="M176"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtext>|</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>|</mtext></mrow></mfenced><mtext>≤</mtext><mtext>|</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>|</mtext><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext><mtext>+</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>|</mtext><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>|</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mtext>|</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>X</mi><mtext>|</mtext><mtext>]</mtext><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext><mtext>]</mtext><mtext>≤</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>|</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>|</mtext><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>|</mtext><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>|</mtext><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>[</mtext><mtext>|</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>X</mi><mtext>|</mtext><mtext>]</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 146.72732544 24.04533386 证毕。 定理5给出了在 <math id="M177"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 充分大时参数 <math id="M178"><mi>ϕ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.20133328 3.64066648 的极大似然估计的存在性，但并不能保证对任意固定的 <math id="M179"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 ，参数 <math id="M180"><mi>ϕ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.20133328 3.64066648 的极大似然估计存在。下面考虑在已知两个参数的情况下，另一个未知参数的极大似然估计的存在性和渐近正态性，将得到类似于文献[ 3 3 ]定理1的结论。由于方法和结论是类似的，我们只考虑当参数 <math id="M181"><mi>θ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.77800000 2.79399991 和 <math id="M182"><mi>α</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.94733334 2.79399991 已知时，参数 <math id="M183"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的极大似然估计。此时关于 <math id="M184"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的似然方程为 <math display="block" id="M185"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>l</mi></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mtext>-</mtext><mi>n</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 104.47866058 10.07533360 定理6 设 <math id="M186"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的参数 <math id="M187"><mi>θ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.77800000 2.79399991 , <math id="M188"><mi>α</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.94733334 2.79399991 已知， <math id="M189"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 未知。令 <math display="block" id="M190"><msub><mrow><mi>Λ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>≕</mtext><mtext>{</mtext><mi>n</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 54.86400223 8.72066689 则 1） <math id="M191"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><mi>P</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>Λ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.85999870 4.65666676 ； 2） <math id="M192"><mtext>∀</mtext><mi>n</mi><mtext>≥</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.59933376 3.30199981 ，似然方程（11）在 <math id="M193"><msub><mrow><mi>Λ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.72533321 上至少有一解 <math id="M194"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.04799986 4.91066647 （在 <math id="M195"><msubsup><mrow><mi>Λ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.97933340 上补充定义 <math id="M196"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.26066685 7.53533316 ），称 <math id="M197"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.04799986 4.91066647 为 <math id="M198"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的极大似然估计； 3） 记 <math id="M199"><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 36.15266418 3.81000018 ， <math id="M200"><mi>I</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>E</mi><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mtext>[</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 40.80933380 9.39799976 为Fisher信息量，则 <math id="M201"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的极大似然估计 <math id="M202"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.04799986 4.91066647 是参数 <math id="M203"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的渐近正态估计，其渐近分布为 <math id="M204"><mi>N</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mtext>[</mtext><mi>n</mi><mi>I</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.58533287 3.97933340 。 证 1 ） 由（5）式可知 <math display="block" id="M205"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>E</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mtext>(</mtext></mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext></mrow><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mfrac><mrow><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>;</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 158.41133118 19.89666748 因为 <math id="M206"><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.08199883 8.38199997 关于 <math id="M207"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 在(0,1)内单调递减，故 <math id="M208"><mi>E</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup></mrow></mfenced><mtext>></mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 75.52266693 9.39799976 ，由大数定律，以概率1，当 <math id="M209"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 充分大时有 <math id="M210"><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup><mtext>></mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 44.95800018 8.72066689 ，即 <math id="M211"><mn mathvariant="normal">2</mn><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup><mtext>></mtext><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 42.75666428 8.72066689 成立，也就是 <math id="M212"><mi>P</mi><mtext>(</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>⋃</mtext></mrow><mrow><mi>k</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><mover><mrow><munder><mrow><mtext>⋂</mtext></mrow><mrow><mi>n</mi><mtext>=</mtext><mi>k</mi></mrow></munder></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><msub><mrow><mi>Λ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 24.38399887 8.63599968 <math id="M213"><mi>P</mi><mtext>(</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>⋃</mtext></mrow><mrow><mi>k</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><mover><mrow><munder><mrow><mtext>⋂</mtext></mrow><mrow><mi>n</mi><mtext>=</mtext><mi>k</mi></mrow></munder></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><mtext>{</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup><mtext>></mtext><mi>n</mi><mtext>}</mtext><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 69.42666626 8.80533314 ，因此 <math id="M214"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><mi>P</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>Λ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.85999870 4.65666676 。 2） 由似然方程（11）计算可知 <math display="block" id="M215"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>l</mi></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mtext>+</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 23.11400032 8.46666718 , <math display="block" id="M216"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>l</mi></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 64.17733002 8.72066689 故在 <math id="M217"><msub><mrow><mi>Λ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.72533321 上方程（10）关于 <math id="M218"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 在（0,1）内至少有一解。 3） 仿定理5的证明，将文献[ 15 15 ]定理4.7用到目前情形，可知 <math id="M219"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.04799986 4.91066647 是相合的。记参数 <math id="M220"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的真值为 <math id="M221"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.04799986 4.57200003 ，为证明 <math id="M222"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.04799986 4.91066647 的渐近正态性，验证文献[ 16 16 ]的定理2.14的4个条件均被满足： a) 当 <math id="M223"><mi>x</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.48266697 2.79399991 时， <math id="M224"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.80066681 8.55133343 ， <math id="M225"><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.91733360 8.88999939 ， <math id="M226"><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.91733360 8.88999939 都存在； b) 对任意充分小的正数 <math id="M227"><mi mathvariant="normal">ϵ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.69333339 2.96333337 ,当 <math id="M228"><mi>p</mi><mtext>∈</mtext><mtext>[</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>]</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 31.15733337 4.65666676 时, 计算可知 <math display="block" id="M229"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>p</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>p</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>≤</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>[</mtext><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mi>n</mi><mtext>+</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mtext>:</mtext><mi>Q</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 164.76133728 30.98800087 易证 <math id="M230"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>Q</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 25.06133270 3.55599999 ，从而文献[ 16 16 ]的定理2.14的条件（2）得到验证； c) 令 <math id="M231"><mover><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 30.39533424 8.55133343 ，对 <math id="M232"><mtext>∀</mtext><mi>p</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.51466751 3.72533321 ，总存在充分小的正数 <math id="M233"><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.62466669 3.72533321 ，满足 <math id="M234"><mi>p</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.93333435 4.57200003 。由中值定理， <math id="M235"><mtext>∃</mtext><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>∈</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>[</mtext><mi>p</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>]</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 41.57133484 4.91066647 ，使得 <math display="block" id="M236"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>+</mtext><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>ϵ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 36.49133301 9.14400005 <math display="block" id="M237"><mtext>=</mtext><mtext>|</mtext><mover><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><mtext>|</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.28800011 5.41866684 因为 <math display="block" id="M238"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mtext>|</mtext><mtext> </mtext><mover><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><mtext>|</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi>α</mi><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mfenced open="|" close="" separators="|"><mrow><mtext>(</mtext></mrow></mfenced><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup><mtext>[</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msubsup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mtext>]</mtext></mrow></mfenced><mtext>≤</mtext><mfrac><mrow><mi>α</mi><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>⋅</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>[</mtext><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi>p</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext><mtext>≔</mtext><mi>K</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 134.36599731 35.39066696 易知 <math id="M239"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>K</mi></mrow><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.85533333 6.94266701 ，所以由控制收敛定理，对 <math id="M240"><mtext>∀</mtext><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.72533321 有 <math display="block" id="M241"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>=</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>ϵ</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder></mrow><mfrac><mrow><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>ϵ</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>=</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">ϵ</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>-</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>f</mi></mrow><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>ϵ</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 149.01333618 11.68400002 同理有 <math id="M242"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 31.58066750 8.88999939 ； d) Fisher信息量为 <math display="block" id="M243"><mi>I</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>E</mi><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mtext>[</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>,</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 40.89400101 9.39799976 <math display="block" id="M244"><mtext> </mtext><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.82599974 2.79399991 <math display="block" id="M245"><mi>E</mi><mtext>[</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 112.01399231 8.88999939 <math display="block" id="M246"><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.96333337 <math display="block" id="M247"><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow></mfrac><mtext>]</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 111.84466553 8.63599968 <math display="block" id="M248"><mtext> </mtext><mtext>≤</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.99533367 3.30199981 <math display="block" id="M249"><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mi>E</mi><mtext>[</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>]</mtext><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mi>E</mi><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 139.53067017 8.63599968 <math display="block" id="M250"><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.96333337 <math display="block" id="M251"><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi></mrow></mfrac><mi>E</mi><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>G</mi><mtext>(</mtext><mi>X</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 32.42733383 8.38199997 <math display="block" id="M252"><mtext> </mtext><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.56733322 2.79399991 又Power Lindley-Logarithmic分布为非退化分布，故 <math id="M253"><mi>I</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.81666660 3.72533321 。从而文献[ 16 16 ]的定理2.14的所有条件均满足，于是 <math id="M254"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.04799986 4.91066647 是 <math id="M255"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的渐近正态估计。 证毕。 4　 数值模拟 1 由于 <math id="M256"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.40466690 3.72533321 分布的似然方程组表达式复杂不易求出显式解，因此用EM算法（算法介绍详见文献[ 17 17 ]）给出其参数的极大似然估计。 设 <math id="M257"><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 23.96066666 4.57200003 是来自 <math id="M258"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.71600056 3.55599999 分布的简单随机样本。 <math id="M259"><mi>Z</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.37066674 2.79399991 是与 <math id="M260"><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>z</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 24.21466637 4.65666676 相互独立的随机变量，且服从参数为 <math id="M261"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的Logarithmic分布。令 <math id="M262"><mi>X</mi><mtext>=</mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>{</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>Z</mi></mrow></msub><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 35.72933197 4.65666676 ，易得 <math id="M263"><mi>Z</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.37066674 2.79399991 关于 <math id="M264"><mi>X</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.62466669 2.79399991 的条件期望为 <math display="block" id="M265"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>|</mtext><mi>X</mi><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>z</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><mi>z</mi><mi>P</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>=</mtext><mi>z</mi><mtext>|</mtext><mi>X</mi><mtext>=</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 110.15132904 10.15999985 记 <math id="M266"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">b</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 32.25799942 4.48733330 为来自 <math id="M267"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.86933327 3.72533321 分布的观测数据， <math id="M268"><mi mathvariant="bold-italic">z</mi><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.68600082 4.48733330 为来自 <math id="M269"><mi>Z</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.37066674 2.79399991 但不能观测的潜在数据，设 <math id="M270"><msup><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><msup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 30.64933395 3.97933340 为第 <math id="M271"><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.78933334 2.96333337 次迭代的初始值，则由EM算法可得 <math display="block" id="M272"><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>p</mi><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msubsup><mtext>+</mtext><mi>n</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 41.48666763 8.46666718 <math display="block" id="M273"><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>+</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mtext>[</mtext><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msubsup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac></mrow></mfrac><mtext>]</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 111.59066772 17.69533348 <math display="block" id="M274"><mfrac><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mtext>[</mtext><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msubsup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mtext>]</mtext><mtext>+</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mtext>[</mtext><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>]</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 114.55400848 8.72066689 其中 <math id="M275"><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msubsup><mtext>:</mtext><mtext>=</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>|</mtext><msup><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">b</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup></mrow></msubsup></mrow><mrow><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup></mrow></msubsup></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 95.08066559 11.26066685 ，且 <math id="M276"><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msubsup><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.68400002 3.97933340 。因为 <math id="M277"><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.97933340 已知且大于1，方程 <math id="M278"><mi>M</mi><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>p</mi><mtext>+</mtext><mi>n</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 35.05199814 3.72533321 ，当 <math id="M279"><mi>M</mi><mtext>></mtext><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 2.87866688 时在 <math id="M280"><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.55133343 3.55599999 上有惟一解，故用二分法求解（12），得到 <math id="M281"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 。方程（13）和（14）关于 <math id="M282"><mi>θ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.77800000 2.79399991 和 <math id="M283"><mi>α</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.94733334 2.79399991 均在 <math id="M284"><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.32933331 3.55599999 存在解，文献[ 18 18 ]指出了求解非线性方程组的牛顿迭代法具有二阶收敛速度，因此对于（13）和（14）式组成的非线性方程组用牛顿迭代法求解，得到 <math id="M285"><mi>θ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.77800000 2.79399991 和 <math id="M286"><mi>α</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.94733334 2.79399991 。 记 <math id="M287"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 为样本容量，则通过以下步骤得到参数 <math id="M288"><mi>ϕ</mi><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>,</mtext><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.64266586 3.72533321 的极大似然估计： 步骤1 产生 <math id="M289"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 个服从 <math id="M290"><mi>U</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.27666664 3.55599999 分布的随机数，记为 <math id="M291"><mi>u</mi><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 28.19400024 4.48733330 ； 步骤2 将 <math id="M292"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.88066673 3.89466667 分别代入到 <math id="M293"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.86933327 3.72533321 分布的分位数函数(定理1)，计算得到 <math id="M294"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.17533112 4.91066647 ，则 <math id="M295"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">b</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 32.25799942 4.48733330 为来自 <math id="M296"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.86933327 3.72533321 分布的容量为 <math id="M297"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 的样本； 步骤3 给定参数的初始值 <math id="M298"><msup><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 30.14133263 3.97933340 ，设定迭代精度为0.000 1，用EM算法得到参数 <math id="M299"><mi>ϕ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.20133328 3.64066648 的极大似然估计； 步骤4 重复步骤1~3 1 000次，计算得到的1 000个估计值的均值作为参数 <math id="M300"><mi>ϕ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.20133328 3.64066648 的极大似然估计的最终结果。 假设模拟得到的极大似然估计为 <math id="M301"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>θ</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn><mtext> </mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 53.33999634 5.41866684 。记这1 000个估计值的均值为 <math display="block" id="M302"><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">A</mi><mi mathvariant="normal">N</mi><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>-</mtext></mover><mtext>,</mtext><mover accent="true"><mrow><mi>θ</mi></mrow><mtext>-</mtext></mover><mtext>,</mtext><mover accent="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mtext>-</mtext></mover><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>θ</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 91.69400024 9.48266697 样本均方误差为 <math display="block" id="M303"><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 64.68533325 3.72533321 <math display="block" id="M304"><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>,</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>θ</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>,</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 90.93199921 9.48266697 样本标准误差为 <math display="block" id="M305"><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mtext>(</mtext><mi>θ</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 51.05400085 3.72533321 <math display="block" id="M306"><mfenced separators="|"><mrow><mroot><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>-</mtext></mover><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot><mtext>,</mtext><mroot><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>θ</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mover accent="true"><mrow><mi>θ</mi></mrow><mtext>-</mtext></mover><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot><mtext>,</mtext><mroot><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mover accent="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mtext>-</mtext></mover><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 101.26133728 10.66799927 表1 表1 给出了在样本容量分别为50,100,500时模拟的结果。 n <math id="M311"><mo stretchy="false">(</mo><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mi>α</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> <math id="M312"><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msup><mo stretchy="false">)</mo></math> MEAN MSE SE (0.7,1.5,1.8) (0.5,1.7,2) (0.634 5,1.465 7,1.895 8) (0.070 3,0.010 0,0.066 5) (0.257 1,0.094 1,0.239 5) 50 (0.7,1,1.5) (0.5,1.3,2) (0.660 0,0.966 9,1.558 5) (0.057 8,0.006 5,0.028 8) (0.237 2,0.073 8,0.159 4) (0.4,0.8,2.5) (0.5,0.5,2) (0.423 4,0.785 6,2.585 1) (0.051 4,0.005 0,0.067 3) (0.225 7,0.069 6,0.245 2) (0.7,1.5,1.8) (0.9,1,1.5) (0.693 5,1.483 7,1.838 1) (0.045 0,0.005 0,0.024 9) (0.212 1,0.068 6,0.153 1) 100 (0.7,1,1.5) (0.4,1.3,2) (0.672 2,0.981 8,1.534 8) (0.037 6,0.002 9,0.013 1) (0.192 0,0.051 1,0.108 9) (0.4,0.8,2.5) (0.7,0.6,1.5) (0.425 1,0.798 3,2.531 4) (0.028 9,0.002 7,0.032 6) (0.168 4,0.051 7,0.177 8) (0.7,1.5,1.8) (0.6,1,2) (0.677 1,1.487 2,1.812 6) (0.013 1,0.001 3,0.004 7) (0.112 3,0.034 4,0.067 6) 500 (0.7,1,1.5) (0.5,1.3,1.3) (0.679 8,0.990 4,1.506 1) (0.010 6,0.000 6,0.002 3) (0.100 8,0.022 6,0.047 2) (0.4,0.8,2.5) (0.6,1,1) (0.416 7,0.804 0,2.501 1) (0.006 6,0.000 6,0.005 4) (0.079 3,0.023 3,0.073 3) 从 表1 表1 可以看到，用EM算法得到的参数的极大似然估计很好地反映了参数的真值，选取不同的初始值对似然估计值的影响不大，且从整体上来看，随着样本量的增加，估计值越来越高，均方误差和标准误差也越来越小。 下面考虑在两个参数已知情况下，另一参数的极大似然估计及95%渐近置信区间的覆盖率。由于方法类似，我们只考虑当 <math id="M313"><mi>θ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.77800000 2.79399991 和 <math id="M314"><mi>α</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.94733334 2.79399991 已知， <math id="M315"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 未知时的情形。在求解极大似然估计时，同样使用EM算法。 沿用前面的符号，记 <math id="M316"><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>i</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msubsup><mtext>:</mtext><mtext>=</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>|</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">b</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><mtext> </mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 89.23866272 10.15999985 ，得到EM算法求解 <math id="M317"><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.53533316 3.89466667 的更新公式 <math display="block" id="M318"><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>)</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msubsup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>i</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow></msubsup><mtext>+</mtext><mi>n</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 62.90733337 8.46666718 同方程（12），这里仍用二分法求 <math id="M319"><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.53533316 3.89466667 。 根据定理6可知固定参数 <math id="M320"><mi>θ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.77800000 2.79399991 和 <math id="M321"><mi>α</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.94733334 2.79399991 时，参数 <math id="M322"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的渐近方差为 <math id="M323"><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>I</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.07533360 8.46666718 ，因为利用Fisher信息量 <math id="M324"><mi>I</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.53533316 3.72533321 计算期望时比较复杂，这里可以用观测信息量代替，记 <math id="M325"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的渐近方差为 <math id="M326"><mi mathvariant="normal">v</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 3.72533321 ，则有 <math display="block" id="M327"><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">v</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>=</mtext><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>l</mi></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>n</mi><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 74.76066589 8.88999939 <math display="block" id="M328"><mtext>-</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><mtext>+</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>θ</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></mrow></msup><msup><mrow><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 66.54799652 10.07533360 记参数 <math id="M329"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的极大似然估计为 <math id="M330"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.04799986 4.91066647 ，其95%渐近置信区间为 <math id="M331"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>±</mtext><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0.975</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">v</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.75466537 4.91066647 。 记 <math id="M332"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 为样本容量，则通过以下步骤得到在参数 <math id="M333"><mi>θ</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 5.58799982 2.96333337 已知时，未知参数 <math id="M334"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的极大似然估计： 步骤1 产生 <math id="M335"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 个服从 <math id="M336"><mi>U</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.27666664 3.55599999 分布的随机数，记为 <math id="M337"><mi>u</mi><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.09333420 4.48733330 ； 步骤2 将 <math id="M338"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.88066673 3.89466667 分别代入到 <math id="M339"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.86933327 3.72533321 分布的分位数函数(定理1)，计算得到 <math id="M340"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>;</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.17533112 4.91066647 ，则 <math id="M341"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">b</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 32.25799942 4.48733330 为来自 <math id="M342"><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mtext>(</mtext><mi>ϕ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.86933327 3.72533321 分布的容量为 <math id="M343"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 的样本； 步骤3 给定参数的初始值 <math id="M344"><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.40266657 3.89466667 ，设定迭代精度为0.000 1，用EM算法得到参数 <math id="M345"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的极大似然估计，并判断真值 <math id="M346"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 是否落入95%渐近置信区间； 步骤4 重复步骤1~3 1 000次，计算得到的1 000个估计值的均值作为参数 <math id="M347"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的极大似然估计的最终结果。 假设模拟得到的极大似然估计为 <math id="M348"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>,</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 32.93533325 4.91066647 ，相对应的渐近置信区间为 <math id="M349"><mi mathvariant="normal">C</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>±</mtext><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0.975</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">v</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 41.40200043 4.91066647 ，记这1 000个估计值的均值为 <math display="block" id="M350"><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">A</mi><mi mathvariant="normal">N</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>-</mtext></mover><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 47.41333389 8.46666718 样本均方误差为 <math display="block" id="M351"><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.76799774 8.46666718 样本标准误差为 <math display="block" id="M352"><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mroot><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>-</mtext></mover><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.34466553 9.73666668 参数 <math id="M353"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的95%置信区间平均长度为 <math display="block" id="M354"><mi mathvariant="normal">A</mi><mi mathvariant="normal">W</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0.975</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">v</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>p</mi></mrow><mtext>̂</mtext></mover></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 51.22333145 8.46666718 95%置信区间的覆盖率为 <math display="block" id="M355"><mi mathvariant="normal">C</mi><mi mathvariant="normal">P</mi><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mfrac><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></mrow></mover><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>p</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 41.14799881 8.46666718 通过模拟得到的 <math id="M356"><mi>θ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.77800000 2.79399991 和 <math id="M357"><mi>α</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.94733334 2.79399991 已知时，参数 <math id="M358"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的极大似然估计及渐近置信区间的覆盖率如 表2 表2 所示。 n <math id="M365"><mo stretchy="false">(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mi>α</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> <math id="M366"><mi>p</mi></math> <math id="M367"><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced></mrow></msup></math> MEAN( p ) MSE( p ) SSE( p ) AW( p ) CP( p ) 4 100 (1,2) 0.4 0.8 0.430 8 0.022 4 0.146 7 0.589 1 0.943 (1,2) 0.7 0.5 0.701 2 0.040 3 0.200 9 0.935 1 0.921 (1.5,1.8) 0.3 0.9 0.325 6 0.014 0 0.115 5 0.446 5 0.943 （1.5,1.8） 0.8 0.5 0.791 5 0.036 1 0.190 0 1.040 3 0.935 4 500 （1,2） 0.4 0.1 0.406 7 0.004 3 0.064 8 0.249 2 0.948 （1,2） 0.7 0.6 0.711 9 0.011 9 0.108 7 0.432 3 0.95 (1.5,1.8) 0.3 0.6 0.306 3 0.002 4 0.049 0 0.188 4 0.949 （1.5,1.8） 0.8 0.2 0.807 1 0.012 9 0.113 5 0.488 2 0.956 4 1 000 （1,2） 0.4 0.3 0.401 5 0.002 1 0.045 3 0.133 4 0.947 （1,2） 0.7 0.9 0.704 2 0.006 2 0.078 7 0.302 9 0.946 (1.5,1.8) 0.3 0.4 0.301 8 0.001 2 0.034 2 0.131 1 0.946 （1.5,1.8） 0.8 0.9 0.803 3 0.007 4 0.086 1 0.345 0 0.958 从 表2 表2 可以看出，对于相同的固定值 <math id="M368"><mi>θ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.77800000 2.79399991 和 <math id="M369"><mi>α</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.94733334 2.79399991 ，参数 <math id="M370"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 越小，极大似然估计对 <math id="M371"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的估计效果越好；选取不同的初始值对 <math id="M372"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的估计影响不大；随着样本容量 <math id="M373"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 的增大， <math id="M374"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的95%渐近置信区间越来越精确； <math id="M375"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的95%渐近置信区间的实际覆盖率在0.95左右，说明当 <math id="M376"><mi>θ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.77800000 2.79399991 和 <math id="M377"><mi>α</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.94733334 2.79399991 固定时， <math id="M378"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 的极大似然估计具有良好的渐近正态性。 参考文献 马逢时 , 刘德辅 . 复合极值分布理论及其应用 [J]. 应用数学学报 , 1979 , 34 ( 4 ): 893 - 902 . 复合极值分布理论及其应用 MA F S , LIU D F . Theory of compound extreme value distribution and its application [J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinia , 1979 , 34 ( 4 ): 893 - 902 (Ch) . Theory of compound extreme value distribution and its application KUŞ C . A new lifetime distribution [J]. Computational Statistics and Data Analysis , 2007 , 51 ( 9 ): 4497 - 4509 . DOI: 10.1016/j.csda.2006.07.017 http://dx.doi.org/10.1016/j.csda.2006.07.017 . A new lifetime distribution TAHMASBI R , REZAEI S . A two parameter lifetime distribution with decreasing failure rate [J]. Computational Statistics & Data Analysis , 2008 , 52 ( 8 ): 3889 - 3901 . DOI: 10.1016/j.csda.2007.12.002 http://dx.doi.org/10.1016/j.csda.2007.12.002 . A two parameter lifetime distribution with decreasing failure rate LU W B , SHI D M . A new compounding life distribution: The Weibull-Poisson distribution [J]. Journal of Applied Statistics , 2012 , 39 ( 1 ): 21 - 38 . DOI: 10.1080/02664763.2011.575126 http://dx.doi.org/10.1080/02664763.2011.575126 . A new compounding life distribution: The Weibull-Poisson distribution ZAKERZADEH H , MAHMOUDI E . A new two parameter lifetime distribution : Model and properties [EB/OL]. [ 2012-04-19 ]. http://cn.arxiv.org/pdf/1204.4248v1 http://cn.arxiv.org/pdf/1204.4248v1 . A new two parameter lifetime distribution GUI W H , ZHANG S L , LU X M . The Lindley-Poisson distribution in lifetime analysis and its properties [J]. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics , 2014 , 43 ( 6 ): 1063 - 1077 . DOI: 10.15672/HJMS.201427453 http://dx.doi.org/10.15672/HJMS.201427453 . The Lindley-Poisson distribution in lifetime analysis and its properties 吕晓星 , 彭维 , 刘禄勤 . 一个新的具有单调降失效率的寿命分布 [J]. 数学杂志 , 2015 , 35 ( 5 ): 1233 - 1244 . DOI: 10.13548/j.sxzz.20140405001 http://dx.doi.org/10.13548/j.sxzz.20140405001 . 一个新的具有单调降失效率的寿命分布 LÜ X X , PENG W , LIU L Q . A new lifetime distribution with decreasing failure rate [J]. Journal of Mathematics , 2015 , 35 ( 5 ): 1233 - 1244 . DOI:10.13548/j.sxzz.20140405001 (Ch) . A new lifetime distribution with decreasing failure rate LIYANAGE G W , PARARAI M . The Lindley power series class of distributions: Model, properties, and applications [J]. Journal of Computations and Modeling , 2015 , 5 ( 3 ): 35 - 80 . The Lindley power series class of distributions: Model, properties, and applications LINDLEY D V . Fiducial distributions and Bayes theorem [J]. Journal of the Royal Statistical Society , 1958 , 20 ( 1 ): 102 - 107 . Fiducial distributions and Bayes theorem GHITANY M E , ATIEH B , NADARAJAH S . Lindley distribution and its application [J]. Mathematics and Computers in Simulation , 2008 , 78 ( 4 ): 493 - 506 . DOI: 10.1016/j.matcom.2007.06.007 http://dx.doi.org/10.1016/j.matcom.2007.06.007 . Lindley distribution and its application GHITANY M E , AL-MUTAIRI D K , BALAKRISHNAN N , et al . Power Lindley distribution and associated inference [J]. Computational Statistics and Data Analysis , 2013 , 64 ( 4 ): 20 - 33 . DOI: 10.1016/j.csda.2013.02.026 http://dx.doi.org/10.1016/j.csda.2013.02.026 . Power Lindley distribution and associated inference JOHNSON N L , KEMP A W , KOTZ S . Univariate Discrete Distributions [M]. Hoboken : John Wiley & Sons , 2005 : 302 - 325 . Univariate Discrete Distributions JODRÁ P . Computer generation of random variables with Lindley or Poisson-Lindely distribution via the Lambert W function [J]. Mathematics and Computers in Simulation , 2010 , 81 ( 4 ): 851 - 859 . DOI : 10.1016/j.matcom.2010.09.006 http://dx.doi.org/10.1016/j.matcom.2010.09.006 . Computer generation of random variables with Lindley or Poisson-Lindely distribution via the Lambert W function GALAMBOS J . The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics [M]. 2nd Edition . Beijing: China Science Press , 2001 : 58 - 59 . The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics 陈希孺 . 高等数理统计学 [M]. 安徽 ： 中国科学技术大学出版社 ， 2009 ： 152 - 154 . 高等数理统计学 CHEN X R . Advanced Mathematical Statistics [M]. Anhui : University of Science and Technology of China Press , 2009 : 152-154(Ch) . Advanced Mathematical Statistics 茆诗松 , 王静龙 , 濮晓龙 . 高等数理统计 [M]. 第二版 . 北京：高等教育出版社 ， 1998 ： 120 - 121 . 高等数理统计 MAO S S , WANG J L , PU X L . Advanced Mathematical Statistics [M]. 2nd Ed iton . Beijing: Higher Education Press , 1998 : 120-121(Ch) . Advanced Mathematical Statistics MCLACHLAN G , KRISHNAN T . The EM Algorithm and Extensions [M]. Hoboken : John Wiley & Sons , 2007 : 18 - 39 . The EM Algorithm and Extensions 陈晓江 , 黄樟灿 . 数值分析 [M]. 北京 ： 科学出版社 ， 2010 ： 258 - 260 . 数值分析 CHEN X J , HUANG Z C . Numerical Analysis [M]. Beijing : China Science Press , 2010 : 258-260(Ch) . Numerical Analysis 10.14188/j.1671-8836.2019.06.008 O 211.3 A 1671-8836（2019）06-0581-12 WANG Zeqi,LIU Luqin.Power Lindley-Logarithmic Distribution and Parameter Estimation [J]. J. Wuhan Univ. （ Nat. Sci. Ed ）,2019,65(6):581-592. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.008(Ch). WANG Zeqi,LIU Luqin.Power Lindley-Logarithmic Distribution and Parameter Estimation [J].J. Wuhan Univ.（Nat. Sci. Ed）,2019,65(6):581-592. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.008(Ch). 王泽琪,刘禄勤.Power Lindley-Logarithmic分布及其参数估计[J].武汉大学学报（理学版）,2019,65(6):581-592. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.001 王泽琪,刘禄勤.Power Lindley-Logarithmic分布及其参数估计[J].武汉大学学报（理学版）,2019,65(6):581-592. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.001 国家自然科学基金资助（11171263） 2018-01-15 2019-12-24 2020-05-21 武汉大学学报（理学版） 6 65