Allee效应对宿主-寄生物系统的影响

Allee效应对宿主-寄生物系统的影响 Influence of Allee Effect in Host-Parasitoid System 1 first-author 刘 华，男，博士，从事生态数学及计算机模拟的研究。E-mail：liuhuaemail@foxmail.com 刘 华，男，博士，从事生态数学及计算机模拟的研究。E-mail：liuhuaemail@foxmail.com liuhuaemail@foxmail.com 1 2 corresp E-mail: 7783360@qq.com E-mail: 7783360@qq.com 7783360@qq.com 1 1 1 西北民族大学 数学与计算机科学学院,甘肃 兰州 730030 西北民族大学 数学与计算机科学学院,甘肃 兰州 730030 School of Mathematics and Computer Science, Northwest Minzu University, Lanzhou 730030, Gansu, China School of Mathematics and Computer Science, Northwest Minzu University, Lanzhou 730030, Gansu, China 西北民族大学 实验教学部， 甘肃 兰州 730030 西北民族大学 实验教学部， 甘肃 兰州 730030 Experimental Teaching Department, Northwest Minzu University, Lanzhou 730030, Gansu, China Experimental Teaching Department, Northwest Minzu University, Lanzhou 730030, Gansu, China 建立了宿主具有Allee效应及寄生物具有聚集效应的离散宿主-寄生物系统，分析了系统的持久性和平衡点的局部稳定性。通过Matlab软件模拟宿主-寄生物种群的动态变化，分析Allee效应对系统动态行为的影响。研究表明聚集效应增加了系统的动态复杂性，Allee效应在缩短种群混沌状态参数域的同时，也减少了种群稳定共存的参数域，以至于种群出现负增长导致灭绝。上述结论为对稀有物种实施保护及对有害物种进行防治提供了理论依据。 In this paper, a discrete-time host-parasitoid system with Allee effect of the host population and the aggregation of the parasitism is investigated. The permanence of the system and the stability of the equilibrium point is analyzed through extensive numerical simulations by Matlab. The results show that the aggregation effect makes the population growth state more and more complex. It is verified that Allee effect increased the complexity of population growth state, at the same time, it shortened the parameter region of chaos and reduced the parameter region of the coexistence of the population，which result the population goes extinct for negative population growth. The above conclusion provides a theoretical basis for the harmonious ecology, which can be used to protect rare species and the harmful species through effective use of Allee effect. Allee效应 持久性 稳定性 聚集反应 Allee effect persistence stability aggregation reaction 刘华,叶勇,魏玉梅, 等.Allee效应对宿主-寄生物系统的影响[J].武汉大学学报（理学版）,2019,65(6):593-600. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.009. 0　 引 言 1 1935年Nicholson与Bailey [ 1 1 ] 在研究过程中考虑到种群在实际生态环境中具有种内竞争的情况,建立了一个宿主-寄生蜂为对象的系统 <math display="block" id="M1"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mi>r</mi><mtext>-</mtext><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 45.04266739 10.41399956 其中： <math id="M2"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.81000018 表示宿主在 <math id="M3"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 世代时的种群个体数, <math id="M4"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.21733332 3.72533321 表示寄生物在 <math id="M5"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 世代时的种群个体数, <math id="M6"><mi>r</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.52399993 2.79399991 表示宿主的内禀增长率, <math id="M7"><mi>a</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 表示寄生物的搜寻概率,每个宿主被寄生的概率为 <math id="M8"><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 5.07999992 3.72533321 。然而就寄生物种群而言,该种形式所描述的现象不能完全地概括实际生物生活过程中的动态复杂性。Beddington等 [ 2 2 ] 在1975年提出了更能表现生物种群生长关系的密度制约方程,即宿主与寄生物种群内部存在着相互竞争的关系,将密度制约因素纳入Nicholson-Bailey方程中,得到 <math display="block" id="M9"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mi>r</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>/</mtext><mi>K</mi><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 56.21866608 10.41399956 在探索的过程中,研究发现种群的群聚生活对于种群的生长是有利的,但是种群密度过高或者过低都会影响种群的增长，会出现负增长的现象，进而导致种群灭绝。每种生物在某一个空间内生存发展都有最佳密度,这就是所谓的Allee效应 [ 3 3 ] 。Allee效应讨论的是生态系统中种内和种间的竞争。 全球生态环境的变化对物种的进化造生了不利影响,种群生态学的研究和实验表明,Allee效应广泛存在于动植物种群 [ 3 3 , 4 4 , 5 5 , 6 6 , 7 7 , 8 8 ] 。设一种群受到Allee效应的影响,其种群密度与最佳密度之间会存在差异,种群的捕食、繁育等各方面都会受到影响,从而导致种群增长呈现负增长进而种群灭绝 [ 8 8 ] 。为了解决这样的问题,保护并促进种群的生存与发展,Allee效应的研究就成了环境保护中的一个重要课题 [ 9 9 , 10 10 ] 。本文将Allee效应引入寄生系统的宿主种群增长系统中,得到如下结构 <math display="block" id="M10"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>c</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>m</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 68.41066742 20.23533440 其中： <math id="M11"><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>c</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>m</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.02266693 8.55133343 表示Allee效应项, <math id="M12"><mi>c</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.52399993 2.79399991 表示Allee效应阈值, <math id="M13"><mi>m</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.79399991 2.79399991 表示Allee效应辅助参数, <math id="M14"><mi>K</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.79399991 2.79399991 为环境容纳量。形式为 <math id="M15"><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.18733406 4.65666676 的结构描述的是宿主与寄生物随机活动,宿主对寄生物的搜寻过程中搜寻效率与寄生物单位时间遇到宿主概率成正比。在实际生态环境中并不是所有的宿主寄生物均为这种形态,比如寄生物对宿主的攻击处于聚集状态,即功能反应的函数为 <math id="M16"><mi>f</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.11866570 4.65666676 <math id="M17"><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><msup><mrow><msup><mrow><mtext>/</mtext><mi>k</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>-</mtext></mrow></msup></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mtext> </mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 23.19866753 4.82599974 [ 11 11 ] 。因此,可以得到相互作用系统为 <math display="block" id="M18"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfrac><mrow><mi>r</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>c</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>m</mi></mrow></mfrac><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 74.84533691 27.51666832 其中 <math id="M19"><mi>k</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.69333339 2.79399991 为聚集指数。该处宿主被寄生的机遇呈负二项分布,当 <math id="M20"><mi>k</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 2.79399991 时,宿主和寄生物相遇的概率呈Poisson分布,即Nicholson-Bailey系统；当 <math id="M21"><mi>k</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.05933285 2.79399991 时,寄生物的攻击越聚集,分布呈现对数分布类型。 1　 系统的持久性 1 首先给出持久性的定义及相关引理。 持久性定义 [ 12 12 ] ： 如存在正常数 <math id="M22"><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">、</mi><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.09133339 3.81000018 使得系统（4）的任意正解 <math id="M23"><mtext>{</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.10733318 4.48733330 满足 <math display="block" id="M24"><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>≤</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 57.99666595 5.58799982 且 <math display="block" id="M25"><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>≤</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 57.06533432 5.58799982 , <math display="block" id="M26"><mi>t</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>,</mtext><mtext>⋯</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.35666656 2.87866688 则系统是持久的。 引理1 [ 13 13 ] 假设 <math id="M27"><mtext>{</mtext><mi>x</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>)</mtext><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.42999935 3.55599999 满足 <math id="M28"><mi>x</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>)</mtext><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.73199940 3.55599999 并且 <math id="M29"><mi>x</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mtext>≤</mtext><mi>x</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mi>a</mi><mtext>-</mtext><mi>b</mi><mi>x</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 52.15466690 3.89466667 , <math id="M30"><mi>k</mi><mtext>∈</mtext><mi mathvariant="double-struck">N</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.63599968 3.13266659 ,其中 <math id="M31"><mi>a</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 和 <math id="M32"><mi>b</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 都为正常数,那么 <math id="M33"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><mi>x</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>)</mtext><mtext>≤</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mi>a</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 46.14333344 7.70466709 。 引理2 [ 13 13 ] 假设 <math id="M34"><mtext>{</mtext><mi>x</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>)</mtext><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.42999935 3.55599999 满足 <math id="M35"><mi>x</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mtext>≥</mtext><mi>x</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mi>a</mi><mtext>-</mtext><mi>b</mi><mi>x</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mi>k</mi><mtext>≥</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 65.44733429 4.74133348 ,其中 <math id="M36"><mi>a</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 和 <math id="M37"><mi>b</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 是正常数并且 <math id="M38"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>∈</mtext><mi mathvariant="double-struck">N</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.17599964 4.06400013 ,那么 <math id="M39"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><mi>x</mi><mtext>(</mtext><mi>k</mi><mtext>)</mtext><mtext>≥</mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>{</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mi>a</mi><mtext>-</mtext><mi>b</mi><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></mfrac><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 62.48400116 7.62000036 。 接下来给出系统（4）持久性定理的证明:假设 <math id="M40"><mtext>{</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.10733318 4.48733330 是系统（4）的解。 定理1 若系统（4）满足 <math display="block" id="M41"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><mfrac><mrow><mi>K</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>r</mi><mi>m</mi><mtext>/</mtext><mi>K</mi><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mi>c</mi><mtext>/</mtext><mi>K</mi><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 55.96466827 8.21266651 ， <math display="block" id="M42"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><mfrac><mrow><mi>K</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>r</mi><mi>m</mi><mtext>/</mtext><mi>K</mi><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mi>c</mi><mtext>/</mtext><mi>K</mi><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 55.54133606 8.21266651 且有 <math display="block" id="M43"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.30866623 4.65666676 <math display="block" id="M44"><mtext>≥</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.30199981 <math display="block" id="M45"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mtext>(</mtext><mi>m</mi><mtext>+</mtext><mi>c</mi><mtext>+</mtext><mi>K</mi><mtext>-</mtext><mi>K</mi><mtext>(</mtext><mi>m</mi><mtext>+</mtext><mi>c</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>m</mi><mtext>+</mtext><mi>K</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>⋅</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mi>r</mi></mrow></mfenced><mtext>-</mtext><mi>r</mi><mtext>(</mtext><mi>m</mi><mtext>+</mtext><mi>c</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>m</mi><mtext>+</mtext><mi>K</mi><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mtext>⋅</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 111.16732788 15.32466698 , <math display="block" id="M46"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≥</mtext><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 58.67399979 11.00666714 即 <math display="block" id="M47"><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>≤</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 77.38533020 5.58799982 ， <math display="block" id="M48"><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>≤</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 76.53866577 5.58799982 则系统是持久的。 证 定理的证明可以分为两个步骤： 1) 证明 <math id="M49"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 25.23066711 5.58799982 , <math id="M50"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 24.80733299 5.58799982 ,其中， <math id="M51"><mfrac><mrow><mi>K</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>r</mi><mi>m</mi><mtext>/</mtext><mi>K</mi><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mi>c</mi><mtext>/</mtext><mi>K</mi><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 33.86666870 7.95866680 。 对于任意的 <math id="M52"><mi>t</mi><mtext>≥</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.55133343 3.30199981 ,有 <math id="M53"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.26066685 3.81000018 , <math id="M54"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 3.72533321 ,且参数 <math id="M55"><mi>r</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.97466660 2.79399991 , <math id="M56"><mi>c</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.97466660 2.79399991 , <math id="M57"><mi>K</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.24466705 2.79399991 , <math id="M58"><mi>m</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.24466705 2.79399991 , <math id="M59"><mi>k</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.05933285 2.79399991 , <math id="M60"><mi>a</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.31333351 2.79399991 ，由系统（4）的第一个式子可推出 <math display="block" id="M61"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.68400002 3.81000018 <math display="block" id="M62"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfrac><mrow><mi>r</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>c</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>m</mi></mrow></mfrac><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup><mtext>≤</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 65.95532990 13.88533401 <math display="block" id="M63"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfrac><mrow><mi>r</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>c</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>m</mi></mrow></mfrac><mtext>≤</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 46.48200226 13.80066681 <math display="block" id="M64"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>m</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 40.13199997 7.62000036 <math display="block" id="M65"><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.96333337 <math display="block" id="M66"><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>m</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 40.04733276 7.62000036 <math display="block" id="M67"><mtext>-</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.79399991 <math display="block" id="M68"><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mi>m</mi><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mi>c</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>/</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>m</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 59.94399643 7.78933334 <math display="block" id="M69"><mtext>≤</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.30199981 <math display="block" id="M70"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 46.90533447 7.62000036 由引理1有 <math display="block" id="M71"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><mfrac><mrow><mi>K</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>r</mi><mi>m</mi><mtext>/</mtext><mi>K</mi><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mi>c</mi><mtext>/</mtext><mi>K</mi><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 55.96466827 8.21266651 同理,根据系统（4）的第二个式子可得到 <math display="block" id="M72"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 64.26200104 17.01799965 从而有 <math display="block" id="M73"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><mfrac><mrow><mi>K</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>(</mtext><mi>r</mi><mi>m</mi><mtext>/</mtext><mi>K</mi><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mi>c</mi><mtext>/</mtext><mi>K</mi><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></msup></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 55.54133606 8.21266651 2) 证明若 <math id="M74"><mtext>(</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac><mi>m</mi><mtext>-</mtext><mi>m</mi><mi>r</mi><mtext>-</mtext><mi>r</mi><mi>c</mi><mtext>)</mtext><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 35.55999756 7.62000036 ，则有 <math display="block" id="M75"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.90599918 4.65666676 <math display="block" id="M76"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≥</mtext><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.37733269 4.14866638 , <math display="block" id="M77"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≥</mtext><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 23.70666695 4.65666676 其中 <math display="block" id="M78"><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi>m</mi><mtext>+</mtext><mi>c</mi><mtext>+</mtext><mi>K</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mi>r</mi></mrow></mfenced><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 102.61599731 9.99066734 , <math display="block" id="M79"><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 39.45466614 11.00666714 由于在上述证明中有 <math display="block" id="M80"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 25.23066711 5.58799982 , <math display="block" id="M81"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 24.80733299 5.58799982 则可得 <math id="M82"><mtext>∀</mtext><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.82599974 3.89466667 , <math id="M83"><mtext>∃</mtext><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.93799973 3.89466667 ,当 <math id="M84"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.14400005 3.72533321 时,有 <math display="block" id="M85"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.65866661 4.23333359 , <math display="block" id="M86"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.23533440 4.23333359 由系统（4）的第一个式子可推出,当 <math id="M87"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.14400005 3.72533321 时,有 <math display="block" id="M88"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.19666672 3.81000018 <math display="block" id="M89"><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.79399991 <math display="block" id="M90"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfrac><mrow><mi>r</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>c</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>m</mi></mrow></mfrac><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup><mtext>≥</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 65.44733429 13.88533401 <math display="block" id="M91"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mtext>(</mtext><mi>r</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>m</mi><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mi>m</mi><mi>r</mi><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><msup><mrow><mtext>+</mtext><mi>m</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 63.92333221 7.62000036 <math display="block" id="M92"><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.96333337 <math display="block" id="M93"><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.00200081 7.62000036 <math display="block" id="M94"><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>m</mi><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mi>m</mi><mtext>-</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 46.05867004 7.62000036 <math display="block" id="M95"><mi>r</mi><mi>c</mi><mtext>)</mtext><mtext>/</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>m</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup><mtext>≥</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 59.94399643 11.93799973 <math display="block" id="M96"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.49866676 4.65666676 <math display="block" id="M97"><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mtext>)</mtext><mtext>⋅</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 49.95333481 7.62000036 <math display="block" id="M98"><msup><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.18266678 7.70466709 由于 <math id="M99"><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 35.64466476 9.82133293 ,所以(7)式变为 <math display="block" id="M100"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mtext>≥</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 40.72466660 9.82133293 <math display="block" id="M101"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 50.96933365 7.62000036 将（8）式看作函数 <math display="block" id="M102"><mi>y</mi><mtext>≥</mtext><mi>x</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mi>x</mi><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 55.79533386 7.62000036 由引理2有 <math display="block" id="M103"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><mi>y</mi><mtext>≥</mtext><mfrac><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mi>r</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mi>r</mi><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 95.33466339 16.25600052 令 <math id="M104"><msub><mrow><mi>ε</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.41399956 3.72533321 ,即得 <math display="block" id="M105"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≥</mtext><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi>m</mi><mtext>+</mtext><mi>c</mi><mtext>+</mtext><mi>K</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mi>r</mi></mrow></mfenced><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 123.02066803 9.99066734 由系统（4）的第二个式子得到 <math display="block" id="M106"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 44.61933136 11.17599964 <math display="block" id="M107"><mtext>≥</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.30199981 <math display="block" id="M108"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 69.84999847 11.76866722 则有 <math display="block" id="M109"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>≥</mtext><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 59.09733200 11.00666714 由1）和2）即知该系统是持久的。证毕。 2　 系统稳定性分析 1 分析系统(4)的非负平衡点的稳定性。通过讨论得知系统（4）具有两个非负的平衡点：平衡点 <math id="M110"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0,0</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.27199936 4.48733330 对应两种群全部灭绝,正平衡点 <math id="M111"><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.42066574 3.81000018 对应两种群共存。 定理2 在系统（4）中：1） 当 <math id="M112"><mi>c</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.97466660 2.79399991 时,平衡点 <math id="M113"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0,0</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.27199936 4.48733330 是局部稳定的；当 <math id="M114"><mi>c</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.97466660 2.79399991 时,零平衡点不稳定；2） 当满足 <math id="M115"><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>C</mi><mtext><</mtext><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>C</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 30.56466866 3.13266659 和 <math id="M116"><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>C</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.33599854 3.04799986 时,正平衡点 <math id="M117"><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.42066574 3.81000018 局部稳定。其中 <math display="block" id="M118"><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi>Q</mi><mi>k</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>a</mi><mtext>(</mtext><mi>Q</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 29.63333321 10.58333302 , <math display="block" id="M119"><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi>k</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.58533287 9.82133293 , <math display="block" id="M120"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>H</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.35199928 8.88999939 , <math display="block" id="M121"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>P</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.35199928 8.88999939 , <math display="block" id="M122"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>N</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.35199928 8.88999939 , <math display="block" id="M123"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>P</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.35199928 8.88999939 , <math display="block" id="M124"><mi>Q</mi><mtext>=</mtext><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>/</mtext><mi>K</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>-</mtext><mi>c</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><mi>m</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 47.75199890 8.12800026 , <math display="block" id="M125"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>B</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>C</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 33.69733429 8.63599968 证 系统的正平衡点满足方程组 <math display="block" id="M126"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>-</mtext><mi>c</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><mi>m</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 76.45400238 34.62866592 由于正平衡点 <math id="M127"><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.42066574 3.81000018 无法用解析的形式解出,令 <math id="M128"><mi>Q</mi><mtext>=</mtext><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mi>r</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>-</mtext><mi>c</mi><mtext>)</mtext><mtext>/</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><mi>m</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 66.63265991 7.78933334 ,解得 <math display="block" id="M129"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mi>k</mi><mi>Q</mi><mi>a</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mtext>/</mtext><mtext>(</mtext><mi>Q</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mi>k</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></mfrac></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mtext>/</mtext><mi>a</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 46.90533447 13.97000027 为讨论平衡点的稳定性,将系统（4）写成如下形式 <math display="block" id="M130"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>N</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>P</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 36.32199860 9.99066734 在 <math id="M131"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 世代对平衡点加一个小扰动 <math id="M132"><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.62466669 3.72533321 和 <math id="M133"><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.62466669 4.57200003 ,则在 <math id="M134"><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.78933334 2.96333337 世代方程演化为 <math display="block" id="M135"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 53.59399796 10.41399956 为得到线性稳定性分析,（15）式的泰勒展开式为 <math display="block" id="M136"><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>N</mi></mrow></mfrac></mtd><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>P</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>N</mi></mrow></mfrac></mtd><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>P</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>N</mi><mi mathvariant="normal">*</mi><mtext>,</mtext><mi>P</mi><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 46.05867004 19.30399895 1） 对平衡点 <math id="M137"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0,0</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.18733406 4.48733330 <math display="block" id="M138"><mi mathvariant="bold-italic">J</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0,0</mn><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>N</mi></mrow></mfrac></mtd><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>P</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>N</mi></mrow></mfrac></mtd><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>P</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0,0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></mfrac></mrow></msup></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 58.75866699 19.30399895 其特征根为 <math id="M139"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>r</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></mfrac></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.80066681 6.01133347 , <math id="M140"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.82133293 3.72533321 ,由于参数 <math id="M141"><mi>r</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.97466660 2.79399991 , <math id="M142"><mi>m</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.24466705 2.79399991 , <math id="M143"><mi>c</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.97466660 2.79399991 ,可得 <math id="M144"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.20799923 4.82599974 ,说明平衡点 <math id="M145"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0,0</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.27199936 4.48733330 是稳定的。 2） 对正平衡点 <math id="M146"><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.91266632 3.81000018 若其雅克比矩阵具有如下形式 <math display="block" id="M147"><mi mathvariant="bold-italic">J</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msub><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>N</mi></mrow></mfrac></mtd><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>P</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>N</mi></mrow></mfrac></mtd><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>P</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow><mrow><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 45.21199799 19.30399895 考虑矩阵 <math display="block" id="M148"><mi mathvariant="bold-italic">A</mi><mtext>=</mtext><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 24.38399887 8.55133343 其中 <math display="block" id="M149"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>N</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.35199928 8.88999939 , <math display="block" id="M150"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>P</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.35199928 8.88999939 , <math display="block" id="M151"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>N</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.35199928 8.88999939 , <math display="block" id="M152"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>P</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.35199928 8.88999939 <math id="M153"><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.79399991 2.79399991 的特征方程为 <math display="block" id="M154"><mi>Q</mi><mtext>(</mtext><mi>λ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><mi>B</mi><mi>λ</mi><mtext>+</mtext><mi>C</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 38.69266510 3.81000018 其中 <math display="block" id="M155"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>B</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>C</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 33.69733429 8.63599968 两个特征根 <math id="M156"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1,2</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><mtext>(</mtext><mi>B</mi><mtext>±</mtext><mroot><mrow><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>C</mi></mrow><mrow/></mroot><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 42.16399765 7.53533316 。若特征根为实数,记为 <math id="M157"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.72533321 。正平衡点 <math id="M158"><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.42066574 3.81000018 稳定的条件为 <math id="M159"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1,2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.15533447 4.82599974 ,即满足下面的条件： <math id="M160"><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>C</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.31999969 3.04799986 且 <math id="M161"><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1,2</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><mtext>±</mtext><mroot><mrow><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>C</mi></mrow><mrow/></mroot><mtext>)</mtext><mtext>/</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 60.28266525 4.82599974 ,解之得： <math id="M162"><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>C</mi><mtext><</mtext><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>C</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 30.56466866 3.13266659 。 若特征根为复数,记为 <math id="M163"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.72533321 ,平衡点稳定的条件是 <math id="M164"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1,2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.91066647 3.72533321 处于复平面 <math id="M165"><mi>λ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.77800000 2.79399991 的单位圆内,满足下面的条件： <math id="M166"><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>C</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.31999969 3.04799986 且 <math id="M167"><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>C</mi><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 31.07266808 3.81000018 ，解之得： <math id="M168"><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>C</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.33599854 3.04799986 。 综上所述得到平衡点局部稳定的条件定理。 3　 Allee效应对种群生长的影响 1 上面通过对具有Allee效应的生态系统系统进行了稳定性分析,得到了该系统平衡点稳定的条件。为了支撑理论推导的条件定理,采用Matlab对系统（4）做生态模拟,通过模拟生物种群的动态变化来研究参数对系统稳定性的影响，其分岔图如图 1 1 , 2 2 , 3 3 , 4 4 ，系统初值 <math id="M169"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">5</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.92199993 3.81000018 , <math id="M170"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">2.5</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.46199894 3.72533321 。 (a) 无Allee效应（ <math id="M184"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.26533318 2.20133328 , <math id="M185"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.28133297 2.11666679 ）；(b) 有Allee效应（ <math id="M186"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.55133343 2.20133328 , <math id="M187"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.000</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.39333344 2.11666679 ） (a) no Allee effect （ <math id="M188"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.26533318 2.20133328 , <math id="M189"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.28133297 2.11666679 ）；(b) with Allee effect （ <math id="M190"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.55133343 2.20133328 , <math id="M191"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.000</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.39333344 2.11666679 ） (a) 无Allee效应（ <math id="M204"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.26533318 2.20133328 , <math id="M205"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.28133297 2.11666679 ）；(b) 有Allee效应（ <math id="M206"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.55133343 2.20133328 , <math id="M207"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.000</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.39333344 2.11666679 ） (a) no Allee effect （ <math id="M208"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.26533318 2.20133328 , <math id="M209"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.28133297 2.11666679 ）；(b) with Allee effect <math id="M210"><mtext>(</mtext><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.65199947 2.70933342 , <math id="M211"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.000</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.39333344 2.11666679 ） (a) 无Allee效应（ <math id="M224"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.26533318 2.20133328 , <math id="M225"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.28133297 2.11666679 ）；(b) 有Allee效应 （ <math id="M226"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.55133343 2.20133328 , <math id="M227"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.000</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.39333344 2.11666679 ） (a) no Allee effect （ <math id="M228"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.26533318 2.20133328 , <math id="M229"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.28133297 2.11666679 ）；(b) with Allee effect （ <math id="M230"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.55133343 2.20133328 , <math id="M231"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.000</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.39333344 2.11666679 ） 1） 内禀增长率 r 对系统的影响 由 图1 图1 (a)知，在 <math id="M171"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.21266651 2.79399991 , <math id="M172"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.56733322 2.79399991 ,即没有Allee效应的情况下, <math id="M173"><mi>r</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.17</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.53066635 2.79399991 时开始出现混沌状态, <math id="M174"><mi>r</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">2.893</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.01799965 2.79399991 时为4周期， <math id="M175"><mi>r</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.52399993 2.79399991 在3.5到4时，出现种群突然灭绝。由 图1 图1 (b)知， <math id="M176"><mi>r</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">2.062</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.01799965 2.79399991 时才开始出现混沌状态, <math id="M177"><mi>r</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.52399993 2.79399991 在2.0到3.0时，有周期变化,此阶段出现了周期窗,该部分变化经历了5、24、8、16、32周期。 r 在3.0到4.5时,种群数量变化不规律,有突然灭绝现象。对比 图1 图1 (a)和 图1 图1 (b)可以得出结论：Allee效应减少了种群存活的参数域。 2） 搜寻概率 a 对系统的影响 图2 图2 (a)则是当 <math id="M192"><mi>c</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.21266651 2.79399991 , <math id="M193"><mi>m</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.56733322 2.79399991 时，搜寻概率 <math id="M194"><mi>a</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 为分岔图横轴的情况。此时模拟的结果比较复杂。当 <math id="M195"><mi>a</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.366</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.86466599 2.79399991 时,系统为混沌状态;当 <math id="M196"><mi>a</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.387</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.86466599 2.79399991 时系统为16周期,后经历了倒转的倍周期增长,周期变化中呈现出了周期窗现象、Hopf分岔 [ 14 14 ] 。而 图2 图2 (b)从 a 取值为0.335时出现混沌状态,接着经历了30、16、8、4、2周期等周期变化; a 在0.414到1.820区间上为稳定共存的状态,然后再次经历混沌状态直到 <math id="M197"><mi>a</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">2.569</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.24000072 2.79399991 时种群灭绝。对比 图2 图2 (a)和 图2 图2 (b)得出结论：Allee效应减少了种群稳定共存的参数域。 为了得到种群更为详细的变化情况,将 图2 图2 (a)局部放大，得到 图3 图3 。从 图3 图3 (a)中可看出，当 <math id="M212"><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext><</mtext><mi>a</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">3</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.76399994 2.79399991 时,整个参数域上寄生物种群先呈现出4周期变化,后通过倍周期分岔而变为8周期状态。 图3 图3 (b)中，当 <math id="M213"><mn mathvariant="normal">5</mn><mtext><</mtext><mi>a</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">6</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.76399994 2.79399991 时,寄生物种群的变化状态十分复杂,不仅有周期窗出现还有各种分叉现象。 a 在5.0到5.1时出现了14周期状态,然后 a 在5.2到5.4时状态变化经历了16、32周期的倍周期增长。而在 图3 图3 (c)中, <math id="M214"><mn mathvariant="normal">6</mn><mtext><</mtext><mi>a</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">7</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.76399994 2.79399991 ,周期变化以成倍增长为主,经历了5、15、30、60周期的倍周期分叉。 图3 图3 (d)中， <math id="M215"><mn mathvariant="normal">7</mn><mtext><</mtext><mi>a</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">8</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.76399994 2.79399991 ,个别点出现周期窗,对应周期状态，参数在其他取值的情况为混沌状态，后经历了倒转的Hopf分叉至稳定共存的状态,之后再次进入混沌状态。通过 图2 图2 (a)和 图2 图2 (b)可以直观地得到结论：寄生物种群的Allee效应在增加灭绝风险的同时降低了种群混沌参数域,减少了动态复杂性。 3) 聚集指数 k 对系统的影响 对 <math id="M216"><mi>k</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.69333339 2.79399991 做分岔图,其他参数取值同上, 图4 图4 反映了种群的变化状态。从 图4 图4 (a)同样可以得到相应的混沌状态参数域、稳定共存的区间、各种分岔类型,最终种群灭绝。随着 <math id="M217"><mi>k</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.69333339 2.79399991 的减小即聚集效应增强,对比 图4 图4 (a)和 图4 图4 (b)可得出结论,Allee效应减少了种群稳定共存的参数域。 4　 结 语 1 关于Allee效应的研究目前已经有很多,大部分讨论的是利用理论性推导得到系统稳定的条件。李海侠 [ 15 15 , 16 16 ] 讨论了带有乘法Allee效应的捕食系统的正解稳定性问题,利用局部分歧理论做了理论性推导,得到正解存在的充分条件,并讨论了带有加法Allee效应的捕食系统共存解的问题,利用不动点指数理论得到了正解存在的充分条件。邹幸福 [ 17 17 ] 则针对单种群的Allee效应动态系统的解进行了渐进稳定性分析。王万雄等 [ 18 18 ] 讨论了一类具有Allee效应的捕食系统的稳定性,通过构造李雅普诺夫函数分析正平衡点的全局稳定性,得到结论：在Allee效应的影响下种群需要花费更多的时间达到平衡状态。 本文建立了一个新的宿主-寄生物系统,该系统根据宿主种群生长特点讨论Allee效应与聚集效应对种群的影响。通过对建立的Allee效应聚集型宿主-寄生物系统进行持久性分析和平衡点稳定性分析,得到稳定条件；用计算机软件对种群的生长系统进行模拟分析,通过模拟种群的生长状态来支撑理论推导的结论。对系统系统（4）进行数值模拟的结论如下： 1） 本文对聚集效应的细节影响未进行详细讨论,但是通过分岔图分析可以清楚地看到其对种群的影响状态。当控制寄生物的聚集程度的参数 <math id="M232"><mi>k</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 2.79399991 时,聚集程度最弱；当 <math id="M233"><mi>k</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.05933285 2.79399991 时,聚集效应最为强烈。 图3 图3 表示的是随着聚集程度的变化,种群的生长状态越来越复杂,出现了各种动态形式,如Hopf分岔、倒转的倍周期分支、混沌状态等。本文对考虑有聚集效应和没有聚集效应的种群生长状态进行对比,发现寄生物对宿主的攻击聚集效应具有一定的稳定性,促进了种群的稳定共存。 2） 通过分岔图分析可知,在宿主-寄生物系统中,只有满足一定条件时系统才能达到稳定的平衡态。在不考虑聚集效应给种群生长带来的影响,即固定聚集效应的参数情况下,讨论了种群在有Allee效应和没有Allee时的变化状态。由 图1 图1 可知Allee效应增加了系统的复杂性, 图1 图1 (b)中显示有Allee效应时种群出现了稳定周期变化,有周期窗出现。对比 图1 图1 、 图2 图2 、 图4 图4 的(a)(b)图得知种群在受到Allee效应时种群的混沌范围缩小,种群存活的参数域也大大减少,比如 图2 图2 中(b)参数 a 在取值为2.569时种群灭绝。2014年,王文婷等 [ 19 19 ] 在捕食者具有厌食性反应的捕食系统中讨论了种群受到Allee效应的影响导致种群出现负增长的情形。很多学者也对Allee效应进行了探讨，得到了类似的结果 [ 20 20 , 21 21 , 22 22 , 23 23 ] ，而本文通过对Allee效应的分析得到同样的结论,种群因受到Allee效应的影响将加速种群的灭绝。 综上所述,Allee效应会减少种群稳定共存的参数域,缩短种群存活的参数域,即Allee效应增加了种群灭绝的可能性。为了保护稀有种群、保持生态和谐发展,我们可以在生态环境中采取相关措施对Allee效应进行处理或者对其进行利用，保护环境。因此,本文的研究有一定的实际意义,可为有关环境管理部门的决策提供了依据。 参考文献 NICHOLSON B A J , BAILEY V A . The balance of animal populations: Part 1 [C] // Proceedings of the Zoological Society of London . Oxford : Blackwell Publishing Limited Company , 1935 : 551 - 598 . The balance of animal populations: Part 1 BEDDINGTON J R , FREE C A , LAWTON J H . Dynamic complexity in predator-prey models framed in difference equations [J]. Nature , 1975 , 255 ( 5503 ): 58 - 60 . Dynamic complexity in predator-prey models framed in difference equations FOWLER M S , RUXTON G D . Population dynamic consequences of Allee effects [J]. Journal of Theoretical Biology , 2002 , 215 ( 1 ): 39 - 46 . DOI: 10.1006/jtbi.2001.2486 http://dx.doi.org/10.1006/jtbi.2001.2486 . Population dynamic consequences of Allee effects GASCOIGNE J , LIPCIUS R N . Allee effects in marine systems [J]. Marine Ecology Progress , 2004 , 269 ( 1 ): 49 - 59 . DOI: 10.3354/meps269049 http://dx.doi.org/10.3354/meps269049 . Allee effects in marine systems BEREC L , ANGULO E , COURCHAMP F . Multiple Allee effects and population management [J]. Trends in Ecology & Evolution , 2007 , 22 ( 4 ): 185 - 91 . DOI: 10.1016/j.tree.2006.12.002 http://dx.doi.org/10.1016/j.tree.2006.12.002 . Multiple Allee effects and population management AGUIRRE P , GONZÁLEZ-OLIVARES E , SÁEZ E . Two limit cycles in a Leslie⁃Gower, predator⁃prey model with additive Allee effect [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications , 2009 , 10 ( 3 ): 1401 - 1416 . DOI: 10.1016/j.nonrwa.2008.01.022 http://dx.doi.org/10.1016/j.nonrwa.2008.01.022 . Two limit cycles in a Leslie⁃Gower, predator⁃prey model with additive Allee effect ÇELIK C , DUMAN O . Allee effect in a discrete-time predator-prey system [J]. Chaos Solitons & Fractals , 2009 , 40 ( 4 ): 1956 - 1962 . DOI: 10.1016/j.chaos.2007.09.077 http://dx.doi.org/10.1016/j.chaos.2007.09.077 . Allee effect in a discrete-time predator-prey system WANG W X , ZHANG Y B , LIU C Z . Analysis of a discrete-time predator-prey system with Allee effect [J]. Ecological Complexity , 2011 , 8 ( 1 ): 81 - 85 . DOI: 10.1016/j.ecocom.2010.04.005 http://dx.doi.org/10.1016/j.ecocom.2010.04.005 . Analysis of a discrete-time predator-prey system with Allee effect LI Z , CHEN F D . Extinction in periodic competitive stage-structured Lotka⁃Volterra model with the effects of toxic substances [J]. Journal of Computational & Applied Mathematics , 2009 , 231 ( 1 ): 143 - 153 . DOI: 10.1016/j.cam.2009.02.004 http://dx.doi.org/10.1016/j.cam.2009.02.004 . Extinction in periodic competitive stage-structured Lotka⁃Volterra model with the effects of toxic substances XU C , BOYCE M S . Dynamic complexities in a mutual interference host⁃parasitoid model [J]. Chaos Solitons & Fractals , 2005 , 24 ( 1 ): 175 - 182 . Dynamic complexities in a mutual interference host⁃parasitoid model 刘华 , 李自珍 , 刘志广 , 等 . 宿主-寄生物种群模型的复杂动态 [J]. 兰州大学学报（自然科学版） , 2009 , 45 ( 4 ): 53 - 59 . DOI: 10.3321/j.issn:0455-2059.2009.04.010 http://dx.doi.org/10.3321/j.issn:0455-2059.2009.04.010 . 宿主-寄生物种群模型的复杂动态 LIU H , LI Z Z , LIU Z G , et al . Complex non-unique dynamics in host-parasitoid model [J]. Journal of Lanzhou University （Natural Sciences） , 2009 , 45 ( 4 ): 53 - 59 .DOI:10.3321/j.issn:0455-2059.2009.04.010 （Ch） . Complex non-unique dynamics in host-parasitoid model CHEN F D . Some new results on the permanence and extinction of nonautonomous Gilpin-Ayala type competition model with delays [J]. Nonlinear Analysis Real World Applications , 2006 , 7 ( 5 ): 1205 - 1222 . DOI: 10.1016/j.nonrwa.2005.11.003 http://dx.doi.org/10.1016/j.nonrwa.2005.11.003 . Some new results on the permanence and extinction of nonautonomous Gilpin-Ayala type competition model with delays CHEN F D . Permanence for the discrete mutualism model with time delays [J]. Mathematical & Computer Modelling , 2008 , 47 ( 3 ): 431 - 435 . DOI: 10.1016/j.mcm.2007.02.023 http://dx.doi.org/10.1016/j.mcm.2007.02.023 . Permanence for the discrete mutualism model with time delays KUMAR S , SRIVASTAVA S K , CHINGAKHAM P . Hopf bifurcation and stability analysis in a harvested one-predator-two-prey model [J]. Applied Mathematics & Computation , 2002 , 129 ( 1 ): 107 - 118 . DOI: 10.1016/S0096-3003(01)00033-9 http://dx.doi.org/10.1016/S0096-3003(01)00033-9 . Hopf bifurcation and stability analysis in a harvested one-predator-two-prey model 李海侠 . 带有乘法Allee效应的捕食-食饵模型的共存解 [J]. 计算机工程与应用 , 2015 , 51 ( 10 ): 16 - 19 . DOI: 10.3778/j.issn.1002-8331.1409-0109 http://dx.doi.org/10.3778/j.issn.1002-8331.1409-0109 . 带有乘法Allee效应的捕食-食饵模型的共存解 LI H X . Coexistence solutions for predator-prey model with multiplicative Allee affect [J]. Computer Engineering and Applications , 2015 , 51 ( 10 ): 16 - 19 .DOI: 10.3778/j.issn.1002-8331.1409-0109 （Ch） . Coexistence solutions for predator-prey model with multiplicative Allee affect 李海侠 . 带有加法Allee效应的捕食-食饵模型共存解的惟一性和多解性 [J]. 武汉大学学报（理学版） , 2015 , 61 ( 4 ): 319 - 322 . DOI: 10.14188/j.1671-8836.2015.04.004 http://dx.doi.org/10.14188/j.1671-8836.2015.04.004 . 带有加法Allee效应的捕食-食饵模型共存解的惟一性和多解性 LI H X . Uniqueness and multiplicity of coexistence solutions for a predator-prey model with additive Allee effect [J]. Journal of Wuhan University (Natural Science Edition) , 2015 , 61 ( 4 ): 319 - 322 .DOI: 10.14188/j.1671-8836.2015.04.004 （Ch） . Uniqueness and multiplicity of coexistence solutions for a predator-prey model with additive Allee effect 邹幸福 . 动物单种群动态的Allee效应的数学模型及其解的性态 [J]. 生物数学学报 , 1992 ( 1 ): 95 - 98 . DOI: 10.1007/BF02677083 http://dx.doi.org/10.1007/BF02677083 . 动物单种群动态的Allee效应的数学模型及其解的性态 ZOU X F . A mathematical model for Allee effect in single-species dynamics of animals and behavior of the solutions to the model [J]. Journal of Biomathematics , 1992 ( 1 ): 95 - 98 . DOI:10.1007/BF02677083 （Ch） . A mathematical model for Allee effect in single-species dynamics of animals and behavior of the solutions to the model 王万雄 , 赵灿省 , 张艳波 . 一类具有Allee效应的捕食系统的稳定性分析及模拟 [J]. 数学的实践与认识 , 2013 , 43 ( 20 ): 245 - 249 . DOI: 10.3969/j.issn.1000-0984.2013.20.037 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1000-0984.2013.20.037 . 一类具有Allee效应的捕食系统的稳定性分析及模拟 WANG W X , ZHAO C S , ZHANG Y B . The stability analysis and simulations of predator-prey system with Allee effect [J]. Mathematics in Practice and Theory , 2013 , 43 ( 20 ): 245 - 249 . DOI:10.3969/j.issn.1000-0984.2013.20.037 （Ch） . The stability analysis and simulations of predator-prey system with Allee effect 王文婷 , 王万雄 . 捕食者具有厌食性反应且食饵具有Allee效应的捕食系统 [J]. 生态学报 , 2014 , 34 ( 16 ): 4596 - 4602 . DOI: 10.5846/stxb201212201834 http://dx.doi.org/10.5846/stxb201212201834 . 捕食者具有厌食性反应且食饵具有Allee效应的捕食系统 WANG W T , WANG W X . The study for predator-prey system with Allee effect exist on prey and apositic reaction exist on predator [J]. Acta Ecologica Sinica , 2014 , 34 ( 16 ): 4596 - 4602 . DOI:10.5846/stxb201212201834 （Ch） . The study for predator-prey system with Allee effect exist on prey and apositic reaction exist on predator 陈超 , 黄振坤 . 既具有反馈控制又具有厌食反应和疾病传染的捕食系统的持续生存性与周期解 [J]. 商丘师范学院学报 , 2006 , 22 ( 2 ): 57 - 60 . DOI: 10.3969/j.issn.1672-3600.2006.02.016 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1672-3600.2006.02.016 . 既具有反馈控制又具有厌食反应和疾病传染的捕食系统的持续生存性与周期解 CHEN C , HUANG Z K . Persistence and periodic solution in prey-predator system with feedback controls,anorexia and infection response [J]. Journal of Shangqiu Teachers College , 2006 , 22 ( 2 ): 57 - 60 . DOI: 10.3969/j.issn.1672-3600.2006.02.016 （Ch） . Persistence and periodic solution in prey-predator system with feedback controls,anorexia and infection response 付晓阅 , 张玉娟 , 刘超 , 等 . 具有Allee效应的食饵-捕食者模型的稳定性分析 [J]. 生物数学学报 , 2012 ， 27 ( 4 ): 639 - 644 . DOI: 1001-9626(2012)04-0639-06 http://dx.doi.org/1001-9626(2012)04-0639-06 . 具有Allee效应的食饵-捕食者模型的稳定性分析 FU X Y , ZHANG Y J , LIU C , et al . The stability of predator-prey systems subject to the Allee effects [J]. Journal of Biomathematics , 2012 ， 27 ( 4 ): 639 - 644 .DOI: 1001-9626(2012)04-0639-06 （Ch） . The stability of predator-prey systems subject to the Allee effects 蒋芮 , 刘华 , 谢梅 , 等 . 具有HollingⅡ型功能反应和Allee效应的捕食系统模型 [J]. 高校应用数学学报 ， 2016 , 31 ( 4 ): 441 - 450 . DOI: 10.3969/j.issn.1000-4424.2016.04.006 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1000-4424.2016.04.006 . 具有HollingⅡ型功能反应和Allee效应的捕食系统模型 JIANG R , LIU H , XIE M , et al . A predator-prey system model with Holling Ⅱ functional response and Allee effect [J]. Applied Mathematics a Journal of Chinese Universities ， 2016 , 31 ( 4 ): 441 - 450 .DOI: 10.3969/j.issn.1000-4424.2016.04.006 （Ch） . A predator-prey system model with Holling Ⅱ functional response and Allee effect 石磊 , 刘华 , 魏玉梅 , 等 . 具有Allee效应的毒杂草入侵扩散模型及空间分布模拟 [J]. 武汉大学学报（理学版） , 2017 , 63 ( 6 ): 523 - 532 . DOI: 10.14188/j.1671-8836.2017.06.010 http://dx.doi.org/10.14188/j.1671-8836.2017.06.010 . 具有Allee效应的毒杂草入侵扩散模型及空间分布模拟 SHI L , LIU H , WEI Y M ， et al . The space distribution simulation of poisonous weeds’ invasion model with Allee effect [J]. Journal of Wuhan University (Natural Science Edition) , 2017 , 63 ( 6 ): 523 - 532 .DOI:10.14188/j.1671-8836.2017.06.010 （Ch） . The space distribution simulation of poisonous weeds’ invasion model with Allee effect 10.14188/j.1671-8836.2019.06.009 O 29 A 1671-8836（2019）06-0593-08 LIU Hua,YE Yong,WEI Yumei, et al .Influence of Allee Effect in Host-Parasitoid System [J] . J. Wuhan Univ. （ Nat. Sci. Ed ）,2019,65(6):593-600. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.009(Ch). LIU Hua,YE Yong,WEI Yumei,et al.Influence of Allee Effect in Host-Parasitoid System [J].J. Wuhan Univ.（Nat. Sci. Ed）,2019,65(6):593-600. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.009(Ch). 刘华,叶勇,魏玉梅, 等.Allee效应对宿主-寄生物系统的影响[J].武汉大学学报（理学版）,2019,65(6):593-600. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.001 刘华,叶勇,魏玉梅, 等.Allee效应对宿主-寄生物系统的影响[J].武汉大学学报（理学版）,2019,65(6):593-600. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.001 国家自然科学基金(31560127)；西北民族大学中央高校基本科研业务费资金 (31920180116, 31920170072, 31920180044)；甘肃省科技计划项目（1610RJZA102)；国家民委中青年英才计划((2014)121号)；西北民族大学甘肃省一流学科引导专项资金（11080305）；西北民族大学中央高校基本科研业务费专项资金 (Yxm2019109) 2018-11-30 2019-12-24 2020-05-21 武汉大学学报（理学版） 6 65