一类具有健康教育干预的Filippov手足口病模型

一类具有健康教育干预的Filippov手足口病模型 A Filippov HFMD Model with Health-Education Intervention 1 first-author 王爱丽，女，教授，博士，现从事生物数学研究。E-mail:aily_wang83@163.com 王爱丽，女，教授，博士，现从事生物数学研究。E-mail:aily_wang83@163.com aily_wang83@163.com 1 宝鸡文理学院 数学与信息科学学院, 陕西 宝鸡 721013 宝鸡文理学院 数学与信息科学学院, 陕西 宝鸡 721013 School of Mathematics and Information Science, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013, Shaanxi, China School of Mathematics and Information Science, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013, Shaanxi, China 建立了一类 Filippov模型刻画健康教育干预影响手足口病的过程:只有当感染人数超过阈值水平时,健康教育干预才会对传染率起到抑制作用;否则,健康教育干预不起效。研究了模型的滑动模式、滑动动力学以及各种平衡态的存在性。结果表明,当 <math id="M1"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.99066734 3.21733332 时,系统将稳定在两个子系统的地方病平衡态 <math id="M2"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.21733332 或 <math id="M3"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.21733332 或伪平衡态 <math id="M4"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 3.21733332 。 这说明选取适当的实施健康教育干预的时机,可以将最终感染人数控制在一个事先给定的水平。 A Filippov model is formulated to describe the following real process of HFMD（hand-foot-mouth disease） with health-education intervention: once the case number exceeds the threshold level, the impact of health-education intervention on disease spreading occurs; otherwise, no impact exists for the case number below the threshold level. The sliding mode, sliding dynamics and all possible equilibria are examined. The main results show that the Filippov system will stabilize at one of the two endemic equilibria of the subsystems, i.e., <math id="M5"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.21733332 or <math id="M6"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.21733332 , or the pseudo-equilibrium <math id="M7"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 3.21733332 for <math id="M8"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.99066734 3.21733332 . It indicates that the number of infected individuals can be stabilized at a previously given level if we implement health-education intervention properly. Filippov模型 健康教育干预 伪平衡态 滑动动力学 全局稳定性 Filippov model health-education intervention pseudo-equilibrium sliding dynamics global stability 王爱丽,王亚强.一类具有健康教育干预的Filippov手足口病模型[J].武汉大学学报（理学版）,2019,65(6):601-608. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.010. 0　 引 言 1 手足口病是一种可由多种肠道病毒引起的常见性儿童病毒传染病。引发这种病的肠道病毒有20多种型,其中以柯萨奇病毒A16型（Cox A16）和肠道病毒71型（EV71）最为常见 [ 1 1 ] 。一般多发生于10 岁以下儿童,其中5岁以下儿童的发病率最高。传播途径主要是唾液和飞沫传播,也可通过手、生活用品及餐具等间接传播。我国已于2008年5月2日将其列入《中华人民共和国传染病防治法》规定的丙类传染病。 有关手足口病的研究工作,除了在分子生物学、临床医学和各种救治方法等方面的讨论外,也有很多研究工作者通过建立传染病动力学模型研究手足口病的传播 [ 2 2 , 3 3 , 4 4 , 5 5 , 6 6 , 7 7 , 8 8 , 9 9 ] 。文献[ 2 2 ]通过研究山东省的手足口病传播情况,表明单一的隔离措施不能控制手足口病的传播。文献[ 3 3 , 4 4 ]研究了隐形感染者在手足口病传播过程中的作用。文献[ 5 5 ]建立了一个SIR模型,用以预测手足口病在马来西亚爆发时的感染人数和平均感染周期。文献[ 6 6 ]也通过建立SIR模型对手足口病的基本再生数进行了估计。文献[ 7 7 , 8 8 , 9 9 ]研究了周期传染率对手足口病疫情的影响。这些研究在建立模型时均未考虑健康教育干预对于手足口病传播和控制的影响。事实上,当手足口病爆发时,家庭和学校可通过电视、网络、报纸等媒体获得手足口病的相关信息,包括感染者数量、感染疾病的症状、适当的预防措施以及传播途径等,对孩子进行健康教育,可使孩子在短时间内对传染病有一定的了解,从而有意识地保护自己 [ 10 10 ] 。文献[ 11 11 ]的研究表明对某一种传染病了解越多的人越倾向于采取一些防护措施(例如频繁洗手、保持社会距离、戴保护面罩等),从而降低疾病的传染率。 1　 模型的建立 1 本文将在文献[ 5 5 , 6 6 ]的基础上,建立一类Filippov手足口病模型 [ 12 12 , 13 13 ] 。有关Filippov模型在传染病预防控制中的应用,目前已经取得了一些成果 [ 14 14 , 15 15 , 16 16 ] 。文献[ 14 14 , 15 15 ]分别研究了媒体报道在传染病防治中的作用,文献[ 16 16 ]建立Filippov模型探讨了有限医疗资源对于疾病控制的影响。本文将采用一个饱和函数刻画健康教育干预对于手足口病传染率的影响,建立模型如下 <math display="block" id="M9"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>ψ</mi><mtext>(</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mfrac><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mi>S</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mi>S</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>ψ</mi><mtext>(</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mfrac><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mi>S</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mi>I</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>R</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mi>γ</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mi>R</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 70.69666290 30.64933395 其中 <math display="block" id="M10"><mi>ψ</mi><mtext>(</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext></mtd><mtd><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>I</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext></mtd><mtd><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>I</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 53.42466354 9.99066734 <math id="M11"><mi>S</mi><mtext>,</mtext><mi>I</mi><mtext>,</mtext><mi>R</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.73666668 2.87866688 分别表示易感儿童、手足口病儿童患者和患手足口病后康复的儿童在儿童总数中的比例, <math id="M12"><mi>ψ</mi><mtext>(</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.62000036 3.72533321 是一个不连续的函数, <math id="M13"><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.28133297 3.55599999 是一个给定函数。所有参数都是正数,其中， <math id="M14"><mi>μ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.03200006 3.64066648 为自然出生(或死亡)率, <math id="M15"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 4.74133348 表示基本传染率, <math id="M16"><mi>γ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.03200006 3.64066648 表示恢复率, <math id="M17"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>I</mi><mtext>/</mtext><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.45733452 4.99533367 表示因受健康教育干预而降低的传染率。 <math id="M18"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.28600001 3.72533321 是一个阈值,用以刻画健康教育干预何时对降低传染率有效。具体如下:当感染者数量低于该阈值(即 <math id="M19"><mi>I</mi><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.05933285 3.72533321 )时,健康教育干预对传染率无影响,此时传染率为 <math id="M20"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 4.74133348 ;当感染者数量高于该阈值(即 <math id="M21"><mi>I</mi><mtext>></mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.05933285 3.72533321 )时,健康教育干预的实施使得传染率降低了,此时传染率降低为 <math id="M22"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.01799965 7.70466709 。 注意到 <math id="M23"><mi>R</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.70933342 2.79399991 不影响前两个方程,故以下只须考虑前两个方程,其吸引域为 <math display="block" id="M24"><mi>Ω</mi><mtext>=</mtext><mtext>{</mtext><mtext>(</mtext><mi>S</mi><mtext>,</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mtext>+</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mtext>|</mtext><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext><</mtext><mi>S</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mi>I</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext><mtext>≤</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 64.26200104 4.82599974 其中 <math id="M25"><msubsup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mtext>+</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.60399961 4.06400013 <math id="M26"><mtext>≡</mtext><mtext>{</mtext><mtext>(</mtext><mi>S</mi><mtext>,</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mtext>|</mtext><mtext> </mtext><mi>S</mi><mtext>≥</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>I</mi><mtext>≥</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 38.35400009 3.64066648 。 事实上, <math display="block" id="M27"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>S</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mi>μ</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mtext>  </mtext><msub><mrow><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>I</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mtext>(</mtext><mi>S</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>S</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>-</mtext><mi>γ</mi><mi>I</mi><mtext>≤</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.00600052 21.92866707 从而所有解最终都将进入 <math id="M28"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 ,即 <math id="M29"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 是吸引域,注意到 <math id="M30"><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0,0</mn><mtext>)</mtext><mtext>∉</mtext><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.49400043 3.55599999 。 <math id="M31"><mtext>(</mtext><mi>S</mi><mtext>,</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.72066689 3.55599999 平面被分成三部分： <math display="block" id="M32"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>{</mtext><mtext>(</mtext><mi>S</mi><mtext>,</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mtext>+</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mtext>|</mtext><mtext> </mtext><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 47.92133331 4.74133348 <math display="block" id="M33"><mtext>,</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.21733332 <math display="block" id="M34"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>{</mtext><mtext>(</mtext><mi>S</mi><mtext>,</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mtext>+</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mtext>|</mtext><mtext> </mtext><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 47.83666611 4.74133348 和切换线 <math display="block" id="M35"><mi>Σ</mi><mtext>=</mtext><mtext>{</mtext><mtext>(</mtext><mi>S</mi><mtext>,</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mtext>+</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mtext>|</mtext><mtext>  </mtext><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 45.97399902 4.74133348 在区域 <math id="M36"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 中,健康教育干预对于降低传染率没有效应,从而模型为 <math display="block" id="M37"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>S</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mi>S</mi><mtext>≡</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>S</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mi>I</mi><mtext>≡</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 52.23933029 17.94933319 在区域 <math id="M38"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 中,健康教育干预使得传染率降低 <math id="M39"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>I</mi><mtext>/</mtext><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.45733452 4.99533367 ,从而模型为 <math display="block" id="M40"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mi>S</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mi>S</mi><mtext>≡</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mi>S</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mi>I</mi><mtext>≡</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 69.68066406 20.40466690 令 <math id="M41"><mi>Z</mi><mtext>=</mtext><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>S</mi><mtext>,</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.35666656 3.81000018 ,则模型(3)和(4)可写成如下Filippov模型 <math display="block" id="M42"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mtext>≡</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>  </mtext><mi>I</mi><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mtext>≡</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>  </mtext><mi>I</mi><mtext>></mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 50.71533203 11.34533310 为讨论模型(5)的解的惟一性,以下讨论其Lipschitz连续性。显然,模型(5)在子区域 <math id="M43"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 上是光滑的,从而在 <math id="M44"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 上是Lipschitz连续的;同理可知其在子区域 <math id="M45"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 上是Lipschitz连续的。然而,对任一中心在 <math id="M46"><mi>Σ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.28600001 2.87866688 上的矩形闭区域 <math id="M47"><mi>M</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.38666677 2.87866688 ,即 <math id="M48"><mi>M</mi><mtext>⋂</mtext><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>≠</mtext><mi mathvariant="normal">∅</mi><mtext>,</mtext><mi>M</mi><mtext>⋂</mtext><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 35.05199814 4.57200003 <math id="M49"><mtext>≠</mtext><mi mathvariant="normal">∅</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.38199997 3.64066648 ,任取点 <math id="M50"><mi>Z</mi><mtext>∈</mtext><mi>M</mi><mtext>⋂</mtext><mi>Σ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.10266685 3.38666677 ,模型(5)在该点没有定义,所以在 <math id="M51"><mi>M</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.38666677 2.87866688 上不是Lipschitz连续的。从而,模型(5)在 <math id="M52"><msubsup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mtext>+</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.60399961 4.06400013 上不是Lipschitz连续的,进一步可知模型(1)不是Lipschitz连续的。这意味着模型(5)不满足解的存在惟一性,即可能出现多个解轨线相交或重合的情况。为以下讨论方便起见,记 <math display="block" id="M53"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mi>F</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 41.99466705 7.62000036 称健康教育干预对手足口病传播有/无抑制效应的模型分别为模型 <math id="M54"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 / <math id="M55"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 。 为定义Filippov系统(5)过点 <math id="M56"><mi>Z</mi><mtext>∈</mtext><mi>Σ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.39799976 3.13266659 的轨线,按照向量场的方向是否指向 <math id="M57"><mi>Σ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.28600001 2.87866688 将其分成三个部分： 1) 横截区域 2 <math display="block" id="M58"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>Z</mi><mtext>∈</mtext><mi>Σ</mi><mtext>|</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>)</mtext><mtext>⋅</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>)</mtext><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 58.92799759 5.67266655 2) 滑动区域 2 <math display="block" id="M59"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>Z</mi><mtext>∈</mtext><mi>Σ</mi><mtext>|</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>)</mtext><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>)</mtext><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 64.93933105 5.67266655 3) 逃逸区域 2 <math display="block" id="M60"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>Z</mi><mtext>∈</mtext><mi>Σ</mi><mtext>|</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>)</mtext><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>)</mtext><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 65.10866547 5.67266655 这里 <math id="M61"><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>)</mtext><mtext>⋅</mtext><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mtext> </mtext><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 47.24399948 4.23333359 表示 <math id="M62"><mi>σ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.69333339 2.79399991 关于向量场 <math id="M63"><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 在点 <math id="M64"><mi>Z</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.37066674 2.79399991 的Lie导数（ <math id="M65"><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.51466751 3.21733332 ）。滑动区域和逃逸区域统称为滑动模式区域,在本文中也称作滑线。 下面给出一些有关Filippov系统的解的定义。 定义 1 若 <math id="M66"><mi>Z</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.45066643 3.55599999 是微分包含 <math id="M67"><mover accent="true"><mrow><mi>Z</mi></mrow><mtext>˙</mtext></mover><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mover accent="true"><mrow><mi>F</mi></mrow><mtext>-</mtext></mover><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 25.65399933 4.23333359 的解,则称其为系统(5)的Filippov解,其中 <math display="block" id="M68"><mover accent="true"><mrow><mi>F</mi></mrow><mtext>-</mtext></mover><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><munder><mrow><mtext>⋂</mtext></mrow><mrow><mi>δ</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><munder><mrow><mtext>⋂</mtext></mrow><mrow><mi>E</mi><mi>N</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><mover><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi></mrow><mo>¯</mo></mover><mi>F</mi><mtext>(</mtext><mi>B</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>;</mtext><mi>δ</mi><mtext>)</mtext><mtext>\</mtext><mi>N</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 60.11333084 6.85800028 <math id="M69"><mover><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.47133350 3.38666677 为一个给定集合的凸闭包, <math id="M70"><mi>B</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>;</mtext><mi>δ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.03866673 3.55599999 为 <math id="M71"><mi>Z</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.37066674 2.79399991 的 <math id="M72"><mi>δ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.94733334 2.79399991 ⁃开邻域, <math id="M73"><mi>F</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.53999996 2.79399991 代表勒贝格测度,在所有零测度集合 <math id="M74"><mi>N</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.87866688 2.87866688 和对所有 <math id="M75"><mi>δ</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.39799976 2.79399991 取交集。 定义 2 设 <math id="M76"><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mtext>+</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 30.90333366 4.65666676 ,则有: 1) 若点 <math id="M77"><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.04799986 满足 <math id="M78"><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 40.97866821 4.48733330 或 <math id="M79"><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.19199944 4.48733330 <math id="M80"><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.79399991 <math id="M81"><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.01333427 3.81000018 ,则称其为系统(5)的真平衡点,记作 <math id="M82"><msubsup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.89466667 3.97933340 。 2) 若点 <math id="M83"><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.04799986 满足 <math id="M84"><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 36.49133301 5.33399963 或 <math id="M85"><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 36.83000183 4.48733330 ,则称其为系统(5)的假平衡点,记作 <math id="M86"><msubsup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.89466667 3.97933340 。 真平衡态和假平衡态统称为规则平衡态。 定义 3 若点 <math id="M87"><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mtext>+</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 30.56466866 4.65666676 满足 <math display="block" id="M88"><mi>λ</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>λ</mi><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 65.95532990 4.48733330 这里由于 <math id="M89"><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext><</mtext><mi>λ</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.59466553 2.79399991 且有 <math id="M90"><mi>λ</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>/</mtext><mtext>(</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mtext>)</mtext><mi>σ</mi><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 55.88000107 4.57200003 则称 <math id="M91"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.47133350 3.72533321 为系统(5)的伪平衡态。 由于Filippov模型(5)的右端是分段连续的,因此本文下面考虑其Filippov解。由子系统 <math id="M92"><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.98133469 4.23333359 的定义可知, <math id="M93"><mi>F</mi><mtext>(</mtext><mi>Z</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.80066681 3.55599999 是非空有界的闭凸集,且在点 <math id="M94"><mi>Z</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.37066674 2.79399991 是半连续的。因此根据定义1,Filippov模型(5)存在满足任一初值条件 <math id="M95"><mi>S</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi>I</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 31.32666779 4.48733330 的解。 2　 平衡态的存在性 1 本节讨论各种可能的平衡态的存在性,包括规则平衡态和伪平衡态。为此先讨论子系统 <math id="M96"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 和 <math id="M97"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 的动力学。 子系统动力学:子系统 <math id="M98"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 的基本再生数是 <math id="M99"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>/</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.58533287 4.99533367 。当 <math id="M100"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.59933376 3.72533321 时,无病平衡态 <math id="M101"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1,0</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.10266685 4.48733330 是局部渐近稳定的;当 <math id="M102"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.51466751 3.72533321 时,存在惟一的地方病平衡态 <math id="M103"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>,</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.55799866 4.65666676 ,其中 <math id="M104"><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.78933334 3.97933340 <math id="M105"><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>/</mtext><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 7.53533316 4.14866638 , <math id="M106"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>=</mtext><mi>μ</mi><mtext>/</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 31.32666779 5.24933338 此时 <math id="M107"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.72533321 是局部渐近稳定的。 对子系统 <math id="M108"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 而言,其基本再生数也是 <math id="M109"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>/</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.58533287 4.99533367 ,无病平衡态是 <math id="M110"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">1,0</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.10266685 4.48733330 。当 <math id="M111"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.59933376 3.72533321 时,无病平衡态 <math id="M112"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.72533321 是局部渐近稳定的;当 <math id="M113"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.51466751 3.72533321 时,存在惟一的地方病平衡态 <math id="M114"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>,</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.55799866 4.65666676 ,其中 <math display="block" id="M115"><mtable><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>+</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow></mfrac><mtext>,</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mroot><mrow><mi>Δ</mi></mrow><mrow/></mroot></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow></mfrac><mtext>,</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>Δ</mi><mtext>=</mtext><mtext>[</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>μ</mi><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>)</mtext><mi>μ</mi><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>+</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>α</mi><mi>μ</mi><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 70.61199951 32.85066605 且 <math id="M116"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.81000018 3.72533321 是局部渐近稳定的。 对于地方病平衡态 <math id="M117"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.62666702 4.48733330 而言,由 <math display="block" id="M118"><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>></mtext><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>,</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi></mrow></mfrac><mtext>,</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 58.25066376 8.72066689 可知 <math id="M119"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.42999935 3.97933340 ,从而当 <math id="M120"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 3.97933340 时, <math id="M121"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.81000018 3.72533321 为真平衡态, <math id="M122"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.72533321 为假平衡态;当 <math id="M123"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mtext>></mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.75266743 3.97933340 时, <math id="M124"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.72533321 为真平衡态,而此时 <math id="M125"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.81000018 3.72533321 为假平衡态;当 <math id="M126"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.47333336 3.97933340 时, <math id="M127"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.72533321 与 <math id="M128"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.81000018 3.72533321 均为假平衡态,此时系统(5)不存在真平衡态。 滑动动力学:为讨论模型(5)的滑动动力学,我们先讨论滑动区域 <math id="M129"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 和逃逸区域 <math id="M130"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.38666677 3.81000018 的存在性。首先讨论逃逸区域的存在性。若模型(5)存在逃逸区域 <math id="M131"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.38666677 3.81000018 ,则其满足 <math display="block" id="M132"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>S</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mi>I</mi><mtext>≤</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><mi>S</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mi>I</mi><mtext>≥</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>I</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 52.40866470 19.64266586 直接计算可得(6)式的解集为空集,从而模型(5)不存在逃逸区域。下面计算模型(5)的滑动区域的存在性。求解 <math display="block" id="M133"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mtext>[</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>S</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mi>I</mi><mtext>]</mtext><mtext>[</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><mi>S</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mi>I</mi><mtext>]</mtext><mtext>≤</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>I</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 74.25267029 12.10733318 得滑动区域为 <math display="block" id="M134"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mtext>(</mtext><mi>S</mi><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>:</mtext><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mtext>≤</mtext><mi>S</mi><mtext>≤</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 73.82933807 9.99066734 根据横截区域的定义和以上讨论可得,模型(5)的横截区域为 <math id="M135"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mi>Σ</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.71133423 3.81000018 ,即 <math id="M136"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>{</mtext><mtext>(</mtext><mi>S</mi><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>:</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext><</mtext><mi>S</mi><mtext><</mtext><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 45.29666519 8.63599968 或 <math display="block" id="M137"><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mtext><</mtext><mi>S</mi><mtext>≤</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 45.12733459 8.80533314 下面采用等效控制法计算模型(5)的滑动模式动力学。由于 <math display="block" id="M138"><mi>σ</mi><mi>'</mi><mtext>=</mtext><mi>I</mi><mi>'</mi><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>ψ</mi><mtext>(</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac><mtext>)</mtext><mi>S</mi><mi>I</mi><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mi>I</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 62.73799896 7.78933334 令 <math id="M139"><mi>σ</mi><mi>'</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.48266697 2.79399991 ,可得 <math display="block" id="M140"><mi>ψ</mi><mtext>(</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>S</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></mfrac><mtext>×</mtext><mfrac><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 51.30799866 8.72066689 将其代入模型(1)的第一式,则模型（5）的滑动动力学由如下标量方程给出 <math display="block" id="M141"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mi>S</mi><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><mi>S</mi><mtext>∈</mtext><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 56.13400269 7.62000036 (7)式存在惟一的平衡态 <math id="M142"><msup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 31.15733337 8.55133343 ,Filippov模型可能的伪平衡态为 <math id="M143"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.71133423 4.65666676 。如果 <math id="M144"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 进一步满足 <math id="M145"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>∈</mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.96533394 4.48733330 ,则其为模型(5)的伪平衡态。事实上, <math display="block" id="M146"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>∈</mtext><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>⇔</mtext><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mtext><</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></mfrac><mtext><</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 56.64200211 19.21933365 由于 <math display="block" id="M147"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>⇔</mtext><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 35.64466476 8.63599968 <math display="block" id="M148"><mtext><</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.79399991 <math display="block" id="M149"><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></mfrac><mtext><</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.60133362 8.55133343 <math display="block" id="M150"><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.60133362 8.80533314 <math display="block" id="M151"><mtext> </mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 0.84666669 2.79399991 当 <math id="M152"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.55799866 3.97933340 时,Filippov模型(5)存在惟一的伪平衡态 <math id="M153"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 ,且此时 <math id="M154"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 在 <math id="M155"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 上局部渐近稳定。 3　 全局动力学 1 本节讨论 <math id="M156"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.51466751 3.72533321 时平衡态的全局稳定性,因为当 <math id="M157"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.59933376 3.72533321 时，手足口病最终可以从人群中清除,故本文下面只考虑 <math id="M158"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.51466751 3.72533321 的情形。为此,我们首先排除各种可能的极限环的存在性,主要包括以下几种: 1) 标准极限环:该类极限环完全落在子区域 <math id="M159"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 或 <math id="M160"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 中,即如 图1 图1 (a)所示的极限环 <math id="M161"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.03400040 4.65666676 ; 2) 内部不包含滑线的穿越极限环:该类极限环的一部分曲线落在子区域 <math id="M162"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 中,一部分曲线落在子区域 <math id="M163"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 中,并且与横截区域 <math id="M164"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 有交点,即如 图1 图1 (b)所示的极限环 <math id="M165"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.03400040 4.65666676 ; 3) 内部包含滑线的穿越极限环:该类极限环的一部分曲线落在子区域 <math id="M166"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 中,一部分曲线落在子区域 <math id="M167"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 中,与横截区域 <math id="M168"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 有交点,且其内部包含了滑线 <math id="M169"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 ,即如 图1 图1 (c)所示的极限环 <math id="M170"><mi>γ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.03200006 3.64066648 ; 4) 鸭型环:该类极限环完全落在子区域 <math id="M171"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 或 <math id="M172"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 3.72533321 中,并且与滑线 <math id="M173"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 相切(如 图1 图1 (d)所示的极限环 <math id="M174"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 4.57200003 )或包含一段滑线(如 图1 图1 (d)所示的极限环 <math id="M175"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 4.57200003 )。 令 <math id="M176"><mi>B</mi><mtext>=</mtext><mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mo>/</mo><mrow><mi>S</mi><mi>I</mi></mrow></mrow></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.15533447 3.30199981 ,则有 <math display="block" id="M177"><mtable><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>S</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>I</mi></mrow></mfrac><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>S</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>I</mi></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>α</mi><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msup><mrow><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>I</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 73.66000366 18.20333290 从而由Dulac原理知Filippov系统(5)不存在 图1 图1 (a)中所示的标准极限环 <math id="M178"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 4.57200003 和 <math id="M179"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 4.57200003 。 由Filippov系统(5)的向量场方向可知,对于任意一个位于滑动区域 <math id="M180"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 左侧的横截区域中的点,其向量场方向都是向下的,从而不存在形如 图1 图1 (b)中的 <math id="M181"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 4.57200003 的极限环。类似的,对于任意一位于 <math id="M182"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 右侧的横截区域中的点,其向量场方向都是向上的,所以也不存在形如 图1 图1 (b)中的 <math id="M183"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 4.57200003 的极限环。由此可得以下结论: 引理 1 Filippov系统(5)不存在完全位于子区域 <math id="M184"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.88066673 4.48733330 中的标准极限环和内部不包含滑线 <math id="M185"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 3.81000018 的穿越极限环。 下面证明Filippov系统(5)不存在内部包含滑线 <math id="M186"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 的极限环,即如 图1 图1 (c)中所示的极限环 <math id="M187"><mi>γ</mi><mtext> </mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.79399991 3.64066648 。 引理 2 Filippov系统(5)不存在内部包含滑线 <math id="M188"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 的极限环。 证 假设Filippov系统(5)存在 图2 图2 所示的极限环,其落在子区域 <math id="M189"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.88066673 4.48733330 中的部分为 <math id="M190"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.03400040 4.65666676 ,与直线 <math id="M191"><mi>I</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.29733276 3.72533321 交于点 <math id="M192"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.80066681 4.48733330 , <math id="M193"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.30866623 4.48733330 。作辅助线 <math id="M194"><mi>I</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.81666660 3.89466667 和 <math id="M195"><mi>I</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.81666660 3.97933340 ,其与 <math id="M196"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 4.57200003 和 <math id="M197"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 4.57200003 分别交于点 <math id="M198"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.94000053 4.48733330 , <math id="M199"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.94000053 4.48733330 , <math id="M200"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.94000053 4.48733330 , <math id="M201"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.94000053 4.48733330 。如 图2 图2 所示,其中 <math id="M202"><mi>ϵ</mi><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>,</mtext><mn mathvariant="normal">3,4</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 29.04066658 4.65666676 为任意小的常数。 令 <math id="M205"><mi>B</mi><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>I</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.02266693 7.53533316 ,则有 <math display="block" id="M206"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mo>∬</mo><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow/></msubsup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>S</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mo>∬</mo><mrow><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow/></msubsup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>S</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi><mtext>+</mtext></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 51.30799866 20.06599998 <math display="block" id="M207"><msubsup><mo>∬</mo><mrow><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow/></msubsup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>S</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 54.44067001 9.14400005 由 <math id="M208"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>,</mtext><mn mathvariant="normal">3,4</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.33133316 4.65666676 的定义知 <math id="M209"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>ϵ</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.32466698 4.74133348 。从而根据格林公式可得 <math display="block" id="M210"><mtable><mtr><mtd><msubsup><mo>∬</mo><mrow><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow/></msubsup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>S</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><msubsup><mo>∮</mo><mrow><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mover><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow/></msubsup><mrow><mi>B</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi></mrow></mfenced></mrow><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>-</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><msubsup><mo>∮</mo><mrow><mover><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow/></msubsup><mrow><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 51.30799866 28.70199966 直接计算得 <math display="block" id="M211"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>ϵ</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtext>-</mtext><msub><mo>∫</mo><mrow><mover accent="true"><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mtext>⃗</mtext></mover></mrow></msub><mrow><mi>B</mi></mrow><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi></mrow></mfenced><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>-</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>ϵ</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><msubsup><mo>∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfrac><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi></mrow><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>ϵ</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtext>-</mtext><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><mi>ϵ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>ϵ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>-</mtext><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 118.36399841 44.87333298 类似讨论，可得 <math display="block" id="M212"><msubsup><mo>∬</mo><mrow><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow/></msubsup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>S</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 51.30799866 9.14400005 <math display="block" id="M213"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>ε</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><msubsup><mo>∮</mo><mrow><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mover><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow/></msubsup><mrow><mi>B</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi></mrow></mfenced></mrow></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 45.38133240 8.04333305 = <math display="block" id="M214"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mtext>-</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi>ϵ</mi><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></munder><msub><mo>∫</mo><mrow><mover accent="true"><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mtext>⃗</mtext></mover></mrow></msub><mrow><mi>B</mi></mrow><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 42.07933426 19.38866615 由此有 <math display="block" id="M215"><msubsup><mo>∬</mo><mrow><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow/></msubsup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>S</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 47.07466888 9.14400005 <math display="block" id="M216"><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.96333337 <math display="block" id="M217"><msubsup><mo>∬</mo><mrow><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow/></msubsup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>S</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mtext>(</mtext><mi>B</mi><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>I</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>I</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 47.07466888 9.14400005 <math display="block" id="M218"><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.79399991 <math display="block" id="M219"><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>α</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>></mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 28.10933304 8.55133343 <math display="block" id="M220"><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 这与(8)式矛盾,所以Filippov模型(5)不存在内部包含滑线 <math id="M221"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 的穿越极限环。引理得证。 假设Filippov模型(5)存在鸭型环,即 图1 图1 (d)所示的极限环 <math id="M222"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 4.57200003 或 <math id="M223"><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 4.57200003 ,则从滑动区域 <math id="M224"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 的任一端点出发的轨线最终要与 <math id="M225"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 相交。以下以 图3 图3 (a)所示的情况为例进行证明,其他情况类似可证。记 <math id="M226"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.72533321 和 <math id="M227"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.72533321 分别为滑线的两个端点,曲线 <math id="M228"><msubsup><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msubsup><mtext>(</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.28800011 4.91066647 和 <math id="M229"><msubsup><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msubsup><mtext>(</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.54199982 4.91066647 分别是子系统 <math id="M230"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.40266657 4.14866638 的水平等倾线和竖直等倾线,曲线 <math id="M231"><mi>l</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.18533337 2.79399991 为Filippov系统(5)过滑线 <math id="M232"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 的左端点 <math id="M233"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.72533321 的轨线。 <math id="M304"><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">a</mi><mtext>)</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.8</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">b</mi><mtext>)</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.6</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">c</mi><mtext>)</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.43</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mtext>)</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.25</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 63.50000000 3.38666677 假设 <math id="M234"><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.37066674 3.72533321 与等倾线 <math id="M235"><msubsup><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.38666677 4.82599974 的交点依次为 <math id="M236"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.84866714 3.81000018 , <math id="M237"><mtext>…</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.97933340 2.79399991 ,则由子系统 <math id="M238"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 的地方病平衡态 <math id="M239"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.97933340 稳定知,交点 <math id="M240"><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.57200003 3.72533321 位于点 <math id="M241"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.72533321 和 <math id="M242"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.97933340 之间,从而轨线 <math id="M243"><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.37066674 3.72533321 不可能再次与切换线 <math id="M244"><mi>Σ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.28600001 2.87866688 相交。这与任一端点出发的轨线最终要与 <math id="M245"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 相交矛盾,所以模型(5)不存在鸭型环,即有下面结论: 引理 3 Filippov系统(5)不存在鸭型环。 下面分析Filippov模型(5)的全局动力学。为此,我们先分析滑线 <math id="M246"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 与不变集 <math id="M247"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 的关系。求解关于 <math id="M248"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.28600001 3.72533321 的方程 <math id="M249"><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 24.04533386 8.63599968 得 <math id="M250"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 25.31533432 8.63599968 。类似的,求解方程 <math display="block" id="M251"><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 42.07933426 8.80533314 得 <math id="M252"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.28600001 3.72533321 的正解为 <math display="block" id="M253"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mtext>[</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>α</mi><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>α</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>]</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>/</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 141.64733887 5.16466665 / <math display="block" id="M254"><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mtext>≡</mtext><mi>δ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 23.62199974 4.82599974 容易计算得 <math display="block" id="M255"><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mtext>></mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.41599846 8.63599968 , <math display="block" id="M256"><mi>δ</mi><mtext><</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.60399961 2.79399991 <math display="block" id="M257"><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.44133377 8.63599968 由于 <math id="M258"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.79399991 3.97933340 和 <math id="M259"><mi>δ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.94733334 2.79399991 分别满足下面两个关于 <math id="M260"><mi>z</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.69333339 2.79399991 的方程 <math display="block" id="M261"><mtable><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></mfrac><mi>z</mi><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>z</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>α</mi><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mi>z</mi></mrow></mfrac><mtext>,</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mi>z</mi><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mtext>(</mtext><mi>μ</mi><mtext>+</mtext><mi>γ</mi><mtext>)</mtext><mtext>(</mtext><mi>α</mi><mtext>+</mtext><mi>z</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mi>α</mi><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>+</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext><mi>z</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 53.00133133 19.38866615 从而有 <math id="M262"><mi>δ</mi><mtext>></mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.32933331 3.97933340 。若 <math id="M263"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mtext>></mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 25.99266624 8.63599968 ,则滑线 <math id="M264"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 完全落在不变集 <math id="M265"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 的外面;若 <math id="M266"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><mi>δ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.07533360 3.72533321 ,则滑线 <math id="M267"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 完全落在 <math id="M268"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 的内部;若 <math id="M269"><mi>δ</mi><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 33.61266708 8.63599968 ,则有一部分滑线落在不变集 <math id="M270"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 的外面,另一部分滑线落在 <math id="M271"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 的内部。 根据 <math id="M272"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.28600001 3.72533321 与 <math id="M273"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>(</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.11866570 4.65666676 的关系,以下分三种情况进行讨论:情形(A) <math id="M274"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>></mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 3.97933340 ;情形(B) <math id="M275"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext><</mtext><mi>I</mi><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.20333290 3.97933340 ;情形(C) <math id="M276"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.92199993 3.97933340 。 情形 (A) <math id="M277"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mtext>></mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.75266743 3.97933340 。 这种情况下,子系统 <math id="M278"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 的地方病平衡态 <math id="M279"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.72533321 是Filippov系统(5)的真平衡态,记作 <math id="M280"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.97933340 ;子系统 <math id="M281"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 的地方病平衡态 <math id="M282"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.81000018 3.72533321 是Filippov系统(5)的假平衡态,记作 <math id="M283"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.97933340 ;这种情况下Filippov系统(5)不存在伪平衡态。此时又有以下三种情形需要考虑: 情形 <math id="M284"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.85800028 4.48733330 <math id="M285"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>></mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.07733345 8.63599968 ; 情形 <math id="M286"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.85800028 4.48733330 <math id="M287"><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext>,</mtext><mi>δ</mi></mrow></mfenced><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>-</mtext><mi>μ</mi><mtext>-</mtext><mi>γ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.85266495 8.63599968 ; 情形 <math id="M288"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.85800028 4.48733330 <math id="M289"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><mi>δ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.71133423 3.97933340 。 当情形 <math id="M290"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.85800028 4.48733330 成立时,滑线 <math id="M291"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 完全落在不变集 <math id="M292"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 的外面。直接计算可得滑动动力学满足 <math id="M293"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>S</mi><mtext>/</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.25600052 3.30199981 ,即滑线 <math id="M294"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 上的向量场方向是由右边指向左边。这种情况下,系统的任意一个解要么直接进入不变集 <math id="M295"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 ,要么与滑线 <math id="M296"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 相交后在 <math id="M297"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 上滑动到左端点,然后进入不变集 <math id="M298"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 。此时 <math id="M299"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 内存在惟一局部渐近稳定的平衡态 <math id="M300"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.97933340 ,且由前面引理1~3知,Filippov系统(5)不存在极限环,所以 <math id="M301"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.97933340 是全局渐近稳定的,如 图3 图3 (a)所示。 <math display="block" id="M305"><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">a</mi><mtext>)</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.8</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">b</mi><mtext>)</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.6</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">c</mi><mtext>)</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.43</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><mtext>(</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mtext>)</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0.25</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 63.50000000 3.38666677 当情形 <math id="M306"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.85800028 4.48733330 成立时,有一部分滑线落在不变集 <math id="M307"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 的外面,另一部分落在 <math id="M308"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 的内部,滑线上的向量场方向也是从右边指向左边。Filippov系统(5)的任一解最终都要进入不变集 <math id="M309"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 ,又由引理1~3知系统不存在极限环,所以此时子系统 <math id="M310"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 的地方病平衡点 <math id="M311"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.97933340 是全局渐近稳定的,如 图3 图3 (b)所示。 当情形 <math id="M312"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.85800028 4.48733330 成立时，滑线 <math id="M313"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.13266659 3.81000018 完全落在不变集 <math id="M314"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 的内部,由类似的讨论可知,此种情况下地方病平衡点 <math id="M315"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.97933340 是全局渐近稳定的。 定理 1 当基本再生数 <math id="M316"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.51466751 3.72533321 和 <math id="M317"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>></mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 3.97933340 时, Filippov系统(5)的规则地方病平衡态 <math id="M318"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.97933340 是全局渐近稳定的。 情形 (B) <math id="M319"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.89666748 3.97933340 。 这种情况下,子系统 <math id="M320"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 和 <math id="M321"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 的地方病平衡态 <math id="M322"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.72533321 和 <math id="M323"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.81000018 3.72533321 均为Filippov系统(5)的假平衡态,记为 <math id="M324"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow></msubsup><mtext>(</mtext><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.30399895 4.65666676 。由第2节讨论可知,此时系统存在伪平衡态 <math id="M325"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 , <math id="M326"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 在滑线 <math id="M327"><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.81000018 上是局部渐近稳定的。此时有以下两种情况需要考虑: 情形 <math id="M328"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.43466663 4.48733330 <math id="M329"><mi>δ</mi><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.37266731 3.97933340 ; 情形 <math id="M330"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.51933336 4.48733330 <math id="M331"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><mi>δ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.71133423 3.97933340 。 当情形 <math id="M332"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.43466663 4.48733330 成立时,有一部分滑线落在不变集 <math id="M333"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 的外面,另一部分落在 <math id="M334"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 的内部。此时滑线 <math id="M335"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 上的向量场方向为:在伪平衡态 <math id="M336"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 的左侧,向量场的方向为由左边指向右边;在 <math id="M337"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 的右侧,向量场的方向为由右边指向左边。系统的任一解要么直接进入滑线 <math id="M338"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 ,要么先进入不变集 <math id="M339"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 ,然后进入滑线 <math id="M340"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 。由于伪平衡态 <math id="M341"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 是Filippov系统(5)的惟一局部渐近稳定的平衡态,且由引理1~3知系统不存在极限环,所以 <math id="M342"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 是全局渐近稳定的,如 图3 图3 (c)所示。当情形 <math id="M343"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.51933336 4.48733330 成立时,滑线 <math id="M344"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 全部落在不变集 <math id="M345"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 的内部。与情形 <math id="M346"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.43466663 4.48733330 一样,此时滑线 <math id="M347"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 上的向量场方向均指向伪平衡态 <math id="M348"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 。类似于情形 <math id="M349"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.43466663 4.48733330 的讨论可知,伪平衡态 <math id="M350"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 是全局渐近稳定的。 定理 2 当基本再生数 <math id="M351"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.51466751 3.72533321 和 <math id="M352"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.89666748 3.97933340 时,Filippov系统(5)的伪平衡态 <math id="M353"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 是全局渐近稳定的。 情形 (C) <math id="M354"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.92199993 3.97933340 。 这种情况下,子系统 <math id="M355"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 的地方病平衡态 <math id="M356"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.72533321 是 Filippov系统(5)的假平衡态,记作 <math id="M357"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.97933340 ;子系统 <math id="M358"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.65666676 4.14866638 的地方病平衡态 <math id="M359"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.81000018 3.72533321 是Filippov系统(5)的真平衡态,记作 <math id="M360"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.81000018 3.97933340 。滑线 <math id="M361"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 全部落在不变集 <math id="M362"><mi>Ω</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.45533323 2.79399991 的内部, <math id="M363"><msub><mrow><mi>Σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.30199981 3.81000018 上的向量场方向为从左边指向右边。由引理1~3可知系统不存在极限环,所以地方病平衡态 <math id="M364"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.81000018 3.97933340 此时是全局渐近稳定的，如 图3 图3 （d）所示。 定理 3 当基本再生数 <math id="M365"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.51466751 3.72533321 和 <math id="M366"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 3.97933340 时, Filippov系统(5)的规则地方病平衡态 <math id="M367"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.81000018 3.97933340 是全局渐近稳定的。 根据定理1~3可知,当基本再生数 <math id="M368"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.51466751 3.72533321 时,手足口病将无法彻底从人群中清除。特别的,当阈值水平 <math id="M369"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.28600001 3.72533321 满足 <math id="M370"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>></mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 3.97933340 或 <math id="M371"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.92199993 3.97933340 时,Filippov系统(5)的规则地方病平衡态 <math id="M372"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.97933340 或 <math id="M373"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.81000018 3.97933340 是全局渐近稳定的;当 <math id="M374"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.28600001 3.72533321 满足 <math id="M375"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.89666748 3.97933340 时,Filippov系统(5)的伪平衡态 <math id="M376"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 是全局渐近稳定的。 4　 结 语 1 本文建立了一类Filippov模型,其与经典的光滑模型有本质区别。研究了模型的滑动动力学和各种可能的平衡态的存在性。全局动力学的研究结果表明,当基本再生数 <math id="M377"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.51466751 3.72533321 时,Filippov系统(5)的规则平衡态 <math id="M378"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.97933340 或 <math id="M379"><msubsup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.81000018 3.97933340 或伪平衡态 <math id="M380"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 是全局渐近稳定的,这说明此时手足口病不能从人群中清除。但是,最终感染人数在不同情况下将稳定到不同的水平。特别的,当阈值水平 <math id="M381"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.28600001 3.72533321 满足 <math id="M382"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext>></mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.17599964 3.97933340 或 <math id="M383"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.26066685 3.97933340 时,最终感染人数将稳定到水平 <math id="M384"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.79399991 3.97933340 或 <math id="M385"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.79399991 3.97933340 ;当 <math id="M386"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.28600001 3.72533321 介于水平 <math id="M387"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.79399991 3.97933340 和 <math id="M388"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.79399991 3.97933340 之间,即当 <math id="M389"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup><mtext><</mtext><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mtext><</mtext><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.89666748 3.97933340 时,最终感染人数将稳定到水平 <math id="M390"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.28600001 3.72533321 ,这是一个事先给定的与系统的其他控制参数无关的数值。这说明此种情况下,最终感染人数将稳定一个事先给定的水平。事实上,在手足口病控制实践中,控制的最终目的并非是将疾病彻底清除,而是将感染人数控制在一定水平之下。所以,当手足口病爆发时尽可能早的施行健康教育干预,虽然不能根除手足口病,但可以将最终染病人数控制在事先设定好的安全水平之下,从而达到控制疾病的目的。 健康教育干预除了对最终感染人数的影响外,对于手足口病的传播过程也有影响（ 图3 图3 (d)）。不管初始感染情况如何,最终感染人数都将稳定在水平 <math id="M391"><msubsup><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.79399991 3.97933340 。然而,如果初始感染人数比较多,则从开始传播到疫情最终稳定下来,整个过程中健康教育干预对于控制疾病传播都有作用;如果初始感染人数比较低,则在开始一段时间健康教育干预没有对控制疾病起到作用,后来当感染人数逐渐增多直至超过阈值水平时,健康教育干预开始影响疾病传播直到最终感染人数稳定下来;如果初始感染人数属于中等水平,则在最终感染人数稳定下来之前,要经历如下过程:刚开始一段时间健康教育干预对于控制手足口病传播有效应,接下来有很短一段时间没有效应,然后在有效应和没有效应之间频繁切换,最后当感染人数超过阈值水平时健康教育干预一直对控制手足口病传播有效应,直至最终感染人数稳定下来。 健康教育干预虽然不能达到控制手足口病的目的,但是可以影响最终感染人数,对于手足口病的传播过程也有影响,所以在手足口病爆发期间,选择恰当的时机进行健康教育干预有利于疫情控制。 参考文献 ZHANG H F , AN D , LIU W , et al . Analysis of cross-reactive neutralizing antibodies in human HFMD serum with an EV71 pseudovirus-based assay [J]. PLoS ONE , 2014 , 9 ( 6 ): e100545 . DOI: 10.1371/journal.pone.0100545 http://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0100545 . Analysis of cross-reactive neutralizing antibodies in human HFMD serum with an EV71 pseudovirus-based assay MA Y J , LIU M X , HOU Q , et al . Modelling seasonal HFMD with the recessive infection in Shandong, China [J]. Mathematical Biosciences and Engineering , 2013 , 10 ( 4 ): 1159 - 1171 . DOI: 10.3934/mbe.2013.10.1159 http://dx.doi.org/10.3934/mbe.2013.10.1159 . Modelling seasonal HFMD with the recessive infection in Shandong, China WANG J Y , XIAO Y N , CHEKE R A . Modelling the effects of contaminated environments on HFMD infections in mainland China [J]. Biosystems , 2016 , 140 : 1 - 7 . DOI: 10.1016/j.biosystems.2015.12.001 http://dx.doi.org/10.1016/j.biosystems.2015.12.001 . Modelling the effects of contaminated environments on HFMD infections in mainland China LI Y , ZHANG J H , ZHANG X A . Modeling and preventive measures of hand, foot and mouth disease (HFMD) in China [J]. International Journal of Environmental Research and Public Health , 2014 , 11 ( 3 ): 3108 - 3117 . DOI： 10.3390/ijerph110303108 http://dx.doi.org/10.3390/ijerph110303108 . Modeling and preventive measures of hand, foot and mouth disease (HFMD) in China CHOU F , TIING S , LABADIN J . A simple deterministic model for the spread of hand , foot and mouth disease (HFMD) in Sarawak [C]// Modeling & Simulation Second Asia International Conference . Washington D C : IEEE Computer Society , 2008 : 947 - 952 . foot and mouth disease (HFMD) in Sarawak DU Z C , ZHANG W J , ZHANG J M , et al . Estimating the basic reproduction rate of HFMD using the time series SIR model in Guangdong, China [J]. PLoS ONE , 2017 , 12 ( 7 ): e0179623 . DOI： 10.1371/journal.pone.0179623 http://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0179623 . Estimating the basic reproduction rate of HFMD using the time series SIR model in Guangdong, China LIU J L . Threshold dynamics for a HFMD epidemic model with periodic transmission rate [J]. Nonlinear Dynamics , 2011 , 64 ( 1-2 ): 89 - 95 . DOI： 10.1007/s11071-010-9848-6 http://dx.doi.org/10.1007/s11071-010-9848-6 . Threshold dynamics for a HFMD epidemic model with periodic transmission rate WANG J Y , XIAO Y N , PENG Z H . Modelling seasonal HFMD infections with the effects of contaminated environments in mainland China [J]. Applied Mathematics and Computation , 2016 ( 274 ): 615 - 627 . DOI： 10.1016/j.amc.2015.11.035 http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2015.11.035 . Modelling seasonal HFMD infections with the effects of contaminated environments in mainland China ZHU Y T , XU B Y , LIAN X Z , et al . A hand-foot-and-mouth disease model with periodic transmission rate in Wenzhou, China [J]. Abstract and Applied Analysis , 2014 : Article ID 234509 . DOI： 10.1155/2014/234509 http://dx.doi.org/10.1155/2014/234509 . A hand-foot-and-mouth disease model with periodic transmission rate in Wenzhou, China 刘俊华 , 陈军 , 王敏芳 , 等 . 幼儿园手足口病健康教育预防措施效果评价研究 [J]. 预防医学情报杂志 , 2015 , 31 ( 5 ): 336 - 338 . 幼儿园手足口病健康教育预防措施效果评价研究 LIU J H , CHEN J , WANG M F , et al . Effect evaluation on health education preventive measures against hand⁃foot⁃mouth disease in kindergarten [J]. Journal of Preventive Medicine Information , 2015 , 31 ( 5 ): 336 - 338 (Ch) . Effect evaluation on health education preventive measures against hand⁃foot⁃mouth disease in kindergarten BREWER N T , CHAPMAN G B , GIBBONS F X , et al . Meta-analysis of the relationship between risk perception and health behavior: The example of vaccination [J]. Health Psychology , 2007 , 26 ( 2 ): 136 - 145 . Meta-analysis of the relationship between risk perception and health behavior: The example of vaccination UTKIN V I . Sliding Modes and Their Applications in Variable Structure Systems [M]. Moscow : Mir Publisher , 1978 . Sliding Modes and Their Applications in Variable Structure Systems UTKIN V I . Sliding Modes in Control and Optimization [M]. Berlin ： Springer-Verlag , 1992 . Sliding Modes in Control and Optimization WANG A L , XIAO Y N . A Filippov system describing media effects on the spread of infectious diseases [J]. Nonlinear Analysis: Hybrid Systems , 2014 , 11 : 84 - 97 . A Filippov system describing media effects on the spread of infectious diseases XIAO Y N , TANG S Y , WU J H . Media impact switching surface during an infectious disease outbreak [J]. Scientific Reports , 2015 , 5 : 7838 . Media impact switching surface during an infectious disease outbreak WANG A L , XIAO Y N , ZHU H P . Dynamics of a Filippov epidemic model with limited hospital beds [J]. Mathematical Biosciences & Engineering , 2018 , 15 ( 3 ): 739 - 764 . Dynamics of a Filippov epidemic model with limited hospital beds 10.14188/j.1671-8836.2019.06.010 O 175.7 A 1671-8836（2019）06-0601-08 WANG Aili,WANG Yaqiang.A Filippov HFMD Model with Health-Education Intervention [J]. J. Wuhan Univ. （ Nat. Sci. Ed ）,2019,65(6):601-608. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.010(Ch). WANG Aili,WANG Yaqiang.A Filippov HFMD Model with Health-Education Intervention [J].J. Wuhan Univ.（Nat. Sci. Ed）,2019,65(6):601-608. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.010(Ch). 王爱丽,王亚强.一类具有健康教育干预的Filippov手足口病模型[J].武汉大学学报（理学版）,2019,65(6):601-608. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.001 王爱丽,王亚强.一类具有健康教育干预的Filippov手足口病模型[J].武汉大学学报（理学版）,2019,65(6):601-608. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.001 国家自然科学基金(11801013),宝鸡市科技计划项目(16RKX1-12),宝鸡文理学院重点科研计划项目(ZK16048) 2018-07-18 2019-12-24 2020-05-21 武汉大学学报（理学版） 6 65