Qpn上一类拟微分方程的柯西问题

<math id="M1"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.12800026 8.12800026 上一类拟微分方程的柯西问题 Cauchy Problem for a Class of Pseudo-Differential Equations on <math id="M2"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 5.41866684 5.41866684 1 first-author 吴 波，男，副教授，现从事分形分析研究。E-mail：bowu8800@gmail.com 吴 波，男，副教授，现从事分形分析研究。E-mail：bowu8800@gmail.com bowu8800@gmail.com 1 南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210023 南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210023 School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing 210023, Jiangsu, China School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing 210023, Jiangsu, China 研究了 <math id="M3"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.60866666 2.45533323 维局部域 <math id="M4"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.47133350 上形如 <math id="M5"><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 85.59799957 7.28133297 的拟微分方程，其中 <math id="M6"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.29266644 3.47133350 ， <math id="M7"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.21733332 3.13266659 是 <math id="M8"><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.22866726 3.72533321 上的Laplacian.当非线性项及初始值满足一定条件时，利用方程基本解得到该拟微分方程解的表示式。 This paper considers a class of pseudo-differential equations on <math id="M9"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.47133350 , <math id="M10"><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 84.92066193 7.28133297 , where <math id="M11"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.29266644 3.47133350 and <math id="M12"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.04799986 2.79399991 is the Laplacian of <math id="M13"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.47133350 . When nonlinear term and initial value satisfy some conditions, the solutions of pseudo-differential equations are obtained by applying fundamental solutions. 局部域 拟微分算子 柯西问题 local fields pseudo-differential operator Cauchy problem 吴波,钱丹丹. <math id="M14"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.87866688 2.70933342 上一类拟微分方程的柯西问题[J].武汉大学学报（理学版）,2019,65(6):616-620. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.012. 0　 引 言 1 近年来，局部域上的拟微分方程因其在理论物理、流体力学等方面的应用越来越受到人们的关注。21世纪90年代，苏维宜给出了局部紧Vilenkin群 G 上函数的拟微分算子 T <math id="M15"><msup><mrow/><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.26999998 3.30199981 的定义 [ 1 1 , 2 2 , 3 3 , 4 4 , 5 5 ] ,随后邱华、李垠、吴波等先后研究了该拟微分算子的谱以及相关拟微分方程的定解 [ 6 6 , 7 7 , 8 8 , 9 9 , 10 10 , 11 11 , 12 12 , 13 13 ] 。2016年，Li等 [ 8 8 ] 将拟微分算子的定义推广到 n 维局部域 <math id="M16"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 4.06400013 上，并研究了其上Laplacian的谱以及相应的波动方程和热传导方程。本文在此基础上研究 <math id="M17"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 4.06400013 中的一类拟微分方程 <math display="block" id="M18"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 50.37666702 14.47799969 其初值条件为 <math display="block" id="M19"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 28.70199966 14.39333344 其中, <math id="M20"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mtext>[</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.63133430 3.55599999 ]， <math id="M21"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 3.89466667 ( <math id="M22"><mi>α</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.39799976 2.79399991 )是 <math id="M23"><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.66799927 4.31799984 上的Laplacian。当函数 <math id="M24"><mi>f</mi><mtext>,</mtext><mi>g</mi><mtext>,</mtext><mi>q</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.55133343 3.64066648 满足某种条件下，我们将研究满足初值条件(2)的非齐次拟微分方程(1)的解。 1　 预备知识 1 首先，回顾一下局部域中相关基础知识 [ 5 5 ] 。令 <math id="M25"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 为一素数， <math id="M26"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 ⁃ <math id="M27"><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">c</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.01133347 2.79399991 数域 <math id="M28"><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.81000018 是有理数域 <math id="M29"><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.96333337 2.96333337 的完备化，其上的绝对值 <math id="M30"><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 5.92666674 5.07999992 定义为 <math id="M31"><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.36133385 5.07999992 ；若 <math id="M32"><mi>x</mi><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup><mfrac><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.88533401 7.62000036 ，则 <math id="M33"><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>ν</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.74800014 5.07999992 ，这里 <math id="M34"><mi>ν</mi><mtext>,</mtext><mi>m</mi><mtext>,</mtext><mi>n</mi><mtext>∈</mtext><mi mathvariant="double-struck">Z</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.67933464 3.13266659 并且 <math id="M35"><mi>m</mi><mtext>,</mtext><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.51933336 2.87866688 与 <math id="M36"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 互素。绝对值 <math id="M37"><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 5.92666674 5.07999992 ， <math id="M38"><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.66799927 4.06400013 满足超距不等式 <math id="M39"><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi><mtext>+</mtext><mi>y</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>y</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 42.24866486 5.92666674 。 <math id="M40"><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.81000018 中的任一元具有惟一的形式级数表示 <math display="block" id="M41"><mi>x</mi><mtext>=</mtext><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mi>m</mi></mrow></munder></mrow><mrow><mtext>+</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.54199982 8.46666718 , <math display="block" id="M42"><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>≤</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><mi>p</mi><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 24.63800049 4.82599974 , <math display="block" id="M43"><mi>i</mi><mtext>=</mtext><mi>m</mi><mtext>,</mtext><mi>m</mi><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>,</mtext><mtext>…</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 25.82333374 3.30199981 , <math display="block" id="M44"><mi>m</mi><mtext>∈</mtext><mi mathvariant="double-struck">Z</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.73666668 3.13266659 , <math display="block" id="M45"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mtext>≠</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.34533310 3.97933340 称 <math id="M46"><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.81000018 中的子环 <math id="M47"><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>{</mtext><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>:</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 39.96266937 5.07999992 为 <math id="M48"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 ⁃ <math id="M49"><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">c</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.01133347 2.79399991 整数环。易知 <math id="M50"><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.81000018 是局部紧的拓扑域以及 <math id="M51"><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.72533321 是紧的。存在 <math id="M52"><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.81000018 上的Haar测度 <math id="M53"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.89466667 2.79399991 ,满足 <math id="M54"><msub><mo>∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi></mrow><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.66333389 7.62000036 。 对任意 <math id="M55"><mi>k</mi><mtext>∈</mtext><mi mathvariant="double-struck">Z</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.55133343 3.13266659 ,定义 <math id="M56"><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.55599999 3.72533321 是以 <math id="M57"><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>∈</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.49866676 4.06400013 为中心, <math id="M58"><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.87866688 3.89466667 为半径的闭圆盘 <math id="M59"><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>:</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 37.16866684 5.07999992 ，其边界集为 <math id="M60"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><mtext>{</mtext><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>:</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 39.20066452 5.07999992 。易得 <math display="block" id="M61"><msub><mo>∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi></mrow><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.51000023 7.70466709 ， <math display="block" id="M62"><msub><mo>∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi></mrow><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.12333298 7.02733326 <math display="block" id="M63"><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.57866669 9.39799976 <math id="M64"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 维局部域 <math id="M65"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 4.06400013 是局部紧的距离空间，其上的点 <math id="M66"><mi>x</mi><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><mtext>…</mtext><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 29.04066658 4.48733330 满足 <math id="M67"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mtext>∈</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.93799973 4.06400013 。 <math id="M68"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 4.06400013 上 <math id="M69"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 ⁃ <math id="M70"><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">c</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.01133347 2.79399991 范数定义为 <math id="M71"><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>=</mtext><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>≤</mtext><mi>k</mi><mtext>≤</mtext><mi>n</mi></mrow></munder><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.85533333 5.92666674 ， <math id="M72"><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.66799927 4.31799984 。 记 <math id="M73"><msubsup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>=</mtext><mtext>{</mtext><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>:</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>≤</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 40.55533218 5.07999992 是以 <math id="M74"><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.49866676 4.31799984 为中心, <math id="M75"><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.87866688 3.89466667 为半径的闭球,则有 <math display="block" id="M76"><msubsup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mtext>×</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mtext>×</mtext><mtext>⋯</mtext><mtext>×</mtext><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 39.53933334 3.97933340 <math id="M77"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 4.06400013 上的Haar测度 <math id="M78"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>x</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 5.58799982 3.04799986 定义为 <math id="M79"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>x</mi><mtext>=</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>⋯</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 29.63333321 3.97933340 。 对任意 <math id="M80"><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.66799927 4.31799984 ，都存在一个整数 <math id="M81"><mi>l</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi mathvariant="double-struck">Z</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 14.64733315 3.55599999 使得对任意 <math id="M82"><mi>x</mi><mi>'</mi><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.54666710 4.14866638 都有 <math id="M83"><mi>φ</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>+</mtext><mi>x</mi><mi>'</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>φ</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 29.12533188 3.72533321 ，则复值函数 <math id="M84"><mi>φ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.37066674 3.64066648 称为 <math id="M85"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 4.06400013 上的局部常值函数，最小的整数 <math id="M86"><mi>l</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.18533337 2.79399991 称为该函数的局部常值指数。 记 <math id="M87"><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.65199947 4.65666676 为局部常值函数构成的线性空间，其上的收敛性定义为：当 <math id="M88"><mi>k</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 2.79399991 时， <math id="M89"><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.38666677 4.57200003 在 <math id="M90"><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.65199947 4.65666676 中收敛于0当且仅当对任意的紧集 <math id="M91"><mi>E</mi><mtext>⊂</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.10733318 4.06400013 ， <math id="M92"><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.38666677 4.57200003 在 <math id="M93"><mi>E</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.62466669 2.79399991 中一致收敛于0。 记 <math id="M94"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 4.06400013 中的检验函数类 <math id="M95"><mi>D</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.15999985 4.65666676 是由具有紧支集的局部常值函数构成的线性空间。其上的收敛性定义为：当 <math id="M96"><mi>k</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 2.79399991 时， <math id="M97"><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.38666677 4.57200003 在 <math id="M98"><mi>D</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.15999985 4.65666676 中收敛于0当且仅当对所有的 <math id="M99"><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.38666677 4.57200003 均支撑在 <math id="M100"><msubsup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.14866638 3.97933340 且在 <math id="M101"><msubsup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.97933340 的陪集上取常值，其中 <math id="M102"><mi>l</mi><mtext>,</mtext><mi>N</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 5.84200001 2.87866688 是不依赖于 <math id="M103"><mi>k</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.69333339 2.79399991 的两个数，并且 <math id="M104"><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.38666677 4.57200003 一致收敛于0。 记 <math id="M105"><mi>D</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.15999985 4.65666676 上的分布空间 <math id="M106"><mi>D</mi><mi>'</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.00666714 4.65666676 是完备拓扑空间。其上的收敛性定义为：当 <math id="M107"><mi>k</mi><mtext>→</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.83733368 2.79399991 时， <math id="M108"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.20133328 4.57200003 在 <math id="M109"><mi>D</mi><mi>'</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.00666714 4.65666676 中收敛于0当且仅当对任意 <math id="M110"><mi>φ</mi><mtext>∈</mtext><mi>D</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.01799965 4.91066647 均有 <math id="M111"><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mtext>,</mtext><mi>φ</mi><mtext>)</mtext><mtext>→</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.37266731 4.65666676 。 检验函数类 <math id="M112"><mi>φ</mi><mtext>∈</mtext><mi>D</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.01799965 4.91066647 中的傅里叶变换与逆变换定义如下 <math display="block" id="M113"><msup><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>ξ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msub><mo>∫</mo><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mrow><mi>φ</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mtext>-</mtext><mi>ξ</mi><mtext>⋅</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>x</mi></mrow></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 51.30799866 7.53533316 ， <math display="block" id="M114"><mi>ξ</mi><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.24466705 4.91066647 ， <math display="block" id="M115"><msup><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mtext>∨</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msub><mo>∫</mo><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mrow><mi>φ</mi><mtext>(</mtext><mi>ξ</mi><mtext>)</mtext><msub><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>ξ</mi><mtext>⋅</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>ξ</mi></mrow></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 47.15933228 7.53533316 ， <math display="block" id="M116"><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.66799927 4.31799984 ， 这里 <math id="M117"><msub><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>ξ</mi><mtext>⋅</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.37733269 4.65666676 为 <math id="M118"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 4.06400013 上的加法特征，且有 <math display="block" id="M119"><msub><mrow><mi>χ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>ξ</mi><mtext>⋅</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>k</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><mtext>{</mtext><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mtext>}</mtext></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.76799774 8.46666718 其中 <math id="M120"><msub><mrow><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.34999990 5.07999992 表示 <math id="M121"><mi>x</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.03200006 2.79399991 的小数部分。由定义可知， <math id="M122"><msup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.15999985 3.04799986 。 同样利用 <math id="M123"><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>,</mtext><mi>φ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mi>f</mi><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.33133316 3.97933340 ， <math id="M124"><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mtext>∨</mtext></mrow></msup><mtext>,</mtext><mi>φ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mi>f</mi><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mtext>∨</mtext></mrow></msup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.33133316 3.97933340 ，傅里叶变换与逆变换的定义也可以推广到分布空间 <math id="M125"><mi>f</mi><mtext>∈</mtext><mi>D</mi><mi>'</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.67933464 4.91066647 上。 苏维宜 [ 1 1 , 2 2 ] 利用拟微分算子的定义给出局部紧Vilenkin群 G 上函数的 <math id="M126"><mi>p</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 3.64066648 ⁃ <math id="M127"><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">c</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.01133347 2.79399991 导数 <math id="M128"><msup><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.04799986 。 定义1 设 <math id="M129"><mi>ξ</mi><mtext>∈</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.24466705 4.65666676 ， 令 <math id="M130"><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mtext>{</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>,</mtext><mtext> </mtext><msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>}</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 30.98800087 5.84200001 ， <math id="M131"><msup><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.04799986 ( <math id="M132"><mi>α</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.39799976 2.79399991 )是象征为 <math id="M133"><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 6.18066692 5.50333357 的拟微分算子,它在检验函数 <math id="M134"><mi>φ</mi><mtext>∈</mtext><mi>D</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.01799965 4.65666676 上的作用如下 <math display="block" id="M135"><msup><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mi>φ</mi><mtext>=</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><msup><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>∨</mtext></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.07733345 7.62000036 由关系式 <math display="block" id="M136"><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mi>f</mi><mtext>,</mtext><mi>φ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mtext>(</mtext><mi>f</mi><mtext>,</mtext><msup><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mi>φ</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 31.58066750 3.97933340 , <math display="block" id="M137"><mi>φ</mi><mtext>∈</mtext><mi>D</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.01799965 4.65666676 ， <math display="block" id="M138"><mi>f</mi><mtext>∈</mtext><mi>D</mi><mi>'</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.67933464 4.65666676 算子 <math id="M139"><msup><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.04799986 的定义域可以延拓到其分布空间 <math id="M140"><mi>D</mi><mi>'</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.00666714 4.48733330 上。从而对 <math id="M141"><mi>f</mi><mtext>∈</mtext><mi>D</mi><mi>'</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.67933464 4.65666676 ,我们仍然有 <math display="block" id="M142"><msup><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mi>f</mi><mtext>=</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>∨</mtext></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 26.92399788 7.62000036 并将算子 <math id="M143"><msup><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 3.04799986 称为 <math id="M144"><mi>D</mi><mi>'</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.00666714 4.48733330 上的 <math id="M145"><mi>α</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.94733334 2.79399991 阶导数。 Li等 [ 8 8 ] 将此定义延伸到 <math id="M146"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 维情形，并给出了 <math id="M147"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 4.06400013 上Laplacian。 定义2 对 <math id="M148"><mi>f</mi><mtext>∈</mtext><mi>D</mi><mi>'</mi><mtext>(</mtext><msub><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 16.67933464 4.65666676 ， <math id="M149"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 4.06400013 上Laplacian是象征为 <math id="M150"><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>k</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.10733318 8.46666718 的拟微分算子，其定义为 <math display="block" id="M151"><msub><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>k</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>∨</mtext></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 38.77733231 10.24466705 对于定义在 <math id="M152"><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced><mtext>×</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.79599953 4.06400013 的函数 <math id="M153"><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.41399956 3.81000018 ，若其局部常值指数不依赖于 <math id="M154"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 ，则称 <math id="M155"><mi>f</mi><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.32466698 4.91066647 相对于 <math id="M156"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 一致。于是有 引理1 [ 8 8 ] 设 <math id="M157"><mi>f</mi><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.32466698 4.91066647 相对于 <math id="M158"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 一致并且关于 <math id="M159"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 连续，则有 <math display="block" id="M160"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi></mrow><mtext>=</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi></mrow></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 51.56200027 6.94266701 2　 主要结果 1 定理1 齐次方程 <math display="block" id="M161"><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 70.44266510 8.04333305 <math display="block" id="M162"><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.81199837 3.81000018 其初值条件为 <math display="block" id="M163"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 28.70199966 14.13933372 其中, <math id="M164"><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.66799927 4.31799984 ， <math id="M165"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.40933418 3.97933340 ， <math id="M166"><mi>T</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.99066734 2.79399991 ，并且 <math id="M167"><mi>a</mi><mtext>,</mtext><mi>b</mi><mtext>,</mtext><mi>c</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>∈</mtext><mi mathvariant="double-struck">R</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.64266586 3.13266659 ， <math id="M168"><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.45733452 3.04799986 。则具有初值（4）的齐次方程（3）有一个基本解 <math display="block" id="M169"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>B</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>A</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>A</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>∨</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 41.74066544 10.15999985 其中 <math display="block" id="M170"><mi>A</mi><mtext>=</mtext><mroot><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.59866714 12.36133385 ， <math display="block" id="M171"><mi>B</mi><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 28.87133217 11.68400002 并且对 <math id="M172"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.40933418 3.97933340 ， <math id="M173"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>D</mi><mi>'</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.26266861 4.65666676 在 <math id="M174"><msubsup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.97933340 中具有紧支集。进一步，若 <math id="M175"><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>D</mi><mi>'</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 23.45266724 4.91066647 ，则满足初值条件（4）的齐次方程（3）的解为 <math display="block" id="M176"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>g</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 39.28533173 4.40266657 证 令 <math id="M177"><mi>g</mi><mtext>=</mtext><mi>δ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 8.72066689 3.64066648 ，并记 <math id="M178"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.26066685 3.55599999 为齐次方程（3）的基本解。对（3）式两边做傅里叶变换，可得 <math display="block" id="M179"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>ξ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>ξ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>ξ</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>ξ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 62.82266617 24.97666740 记 <math display="block" id="M180"><mi>A</mi><mtext>=</mtext><mroot><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.59866714 12.36133385 ， <math display="block" id="M181"><mi>B</mi><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 28.87133217 11.68400002 则有 <math display="block" id="M182"><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>ξ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>B</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>A</mi><mi>t</mi><mtext>+</mtext><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>B</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>A</mi><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 58.75866699 4.91066647 其中 <math id="M183"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>,</mtext><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.48266697 3.81000018 为两常数。由初值条件的傅里叶变换 <math display="block" id="M184"><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>ξ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.31999969 3.97933340 可得 <math display="block" id="M185"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.66799927 3.72533321 由 <math display="block" id="M186"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>ξ</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 23.02933502 7.87400007 可得 <math display="block" id="M187"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>A</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.95399952 7.53533316 从而， <math id="M188"><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>ξ</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>B</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>A</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>A</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 33.27399826 7.78933334 ，且对任意的 <math id="M189"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.40933418 3.97933340 ， <math id="M190"><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>ξ</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.17800140 4.91066647 在 <math id="M191"><msubsup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.97933340 的陪集上取常值。因此， <math display="block" id="M192"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>B</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>A</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>A</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mtext>∨</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 41.74066544 10.15999985 且对 <math id="M193"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.40933418 3.97933340 ， <math id="M194"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>D</mi><mi>'</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.26266861 4.65666676 在 <math id="M195"><msubsup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.97933340 中具有紧支集，从而 <math id="M196"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 21.50533485 3.72533321 存在。令 <math display="block" id="M197"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>g</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 39.87800217 4.40266657 则有 <math display="block" id="M198"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>g</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mtext>(</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced separators="|"><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mi>E</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 77.89333344 37.67666626 并且 <math display="block" id="M199"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>g</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 65.19332886 4.40266657 ， <math display="block" id="M200"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>g</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>δ</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 81.19533539 8.29733276 从而 <math id="M201"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>g</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 39.87800217 4.40266657 是满足初值条件（4）的齐次方程（3）的解。证毕。 推论1 对 <math id="M202"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.40933418 3.97933340 ，基本解 <math id="M203"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.26066685 3.55599999 是支集在 <math id="M204"><msubsup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.97933340 上的连续函数。 证 对 <math id="M205"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.40933418 3.97933340 ，有 <math display="block" id="M206"><msub><mo>∫</mo><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfenced></mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>ξ</mi><mtext>=</mtext><msub><mo>∫</mo><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><mi>B</mi><mi>t</mi></mrow></msup><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>A</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>A</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>ξ</mi><mtext>≤</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 63.07666779 9.39799976 <math display="block" id="M207"><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mroot><mrow><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mtext>)</mtext></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><msub><mo>∫</mo><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup><mi>t</mi></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msup><mrow><mfenced open="<" close=">" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>ξ</mi><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 51.98533249 22.09799957 <math display="block" id="M208"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup><mi>t</mi></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup><mroot><mrow><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mtext>)</mtext></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mroot><mrow><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mtext>)</mtext></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mtext>⋅</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 49.36066818 11.26066685 <math display="block" id="M209"><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>k</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mtext>+</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><msub><mo>∫</mo><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>ξ</mi></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></msub><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup><mi>t</mi></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>j</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mover><msup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>ξ</mi><mtext>≤</mtext></mrow></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 42.07933426 22.09799957 <math display="block" id="M210"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup><mi>t</mi></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup><mroot><mrow><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mtext>)</mtext></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mroot><mrow><mtext>(</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mtext>)</mtext></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mtext>⋅</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 49.36066818 11.26066685 <math display="block" id="M211"><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>-</mtext><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mover><mrow><munder><mrow><mtext>∑</mtext></mrow><mrow><mi>k</mi><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munder></mrow><mrow><mtext>+</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></mover><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>α</mi></mrow></msup><mi>t</mi></mrow></msup><msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>n</mi><mtext>-</mtext><mi>α</mi></mrow></mfenced></mrow></msup><mtext><</mtext><mi mathvariant="normal">∞</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 47.75199890 9.90599918 因此，对 <math id="M212"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.40933418 3.97933340 ， <math id="M213"><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mtext>∧</mtext></mrow></msup><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>ξ</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><msup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 28.53266716 4.91066647 。从而对 <math id="M214"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.40933418 3.97933340 ， <math id="M215"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 11.26066685 3.55599999 是支集在 <math id="M216"><msubsup><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.64066648 3.97933340 上的连续函数。证毕。 定理2 齐次方程 <math display="block" id="M217"><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.42933273 8.04333305 <math display="block" id="M218"><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 42.58733368 4.65666676 其初值条件为 <math display="block" id="M219"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 25.23066711 14.39333344 其中, <math id="M220"><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.66799927 4.31799984 ， <math id="M221"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.40933418 3.97933340 ， <math id="M222"><mi>T</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.99066734 2.79399991 ，并且 <math id="M223"><mi>a</mi><mtext>,</mtext><mi>b</mi><mtext>,</mtext><mi>c</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>∈</mtext><mi mathvariant="double-struck">R</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.64266586 3.13266659 ， <math id="M224"><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.45733452 3.04799986 ， <math id="M225"><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>D</mi><mi>'</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 23.19866753 4.91066647 。若记 <math display="block" id="M226"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 39.20066452 4.40266657 则 <math id="M227"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.24000072 8.29733276 是满足初值条件（5）的齐次方程（3）的解。 证 由 <math display="block" id="M228"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mtext>(</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 81.87266541 37.84600067 并且 <math display="block" id="M229"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>δ</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 80.68733215 8.29733276 <math display="block" id="M230"><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 71.88199615 8.63599968 从而 <math id="M231"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.24000072 8.29733276 是满足初值条件（5）的齐次方程（3）的解。证毕。 定理3 非齐次方程 <math display="block" id="M232"><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>+</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.42933273 8.04333305 <math display="block" id="M233"><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 50.37666702 4.91066647 其初值条件为 <math display="block" id="M234"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 22.52133369 14.13933372 其中, <math id="M235"><mi>x</mi><mtext>∈</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.66799927 4.31799984 ， <math id="M236"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.40933418 3.97933340 ， <math id="M237"><mi>T</mi><mtext>></mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 9.99066734 2.79399991 ，并且 <math id="M238"><mi>a</mi><mtext>,</mtext><mi>b</mi><mtext>,</mtext><mi>c</mi><mtext>,</mtext><mi>α</mi><mtext>∈</mtext><mi mathvariant="double-struck">R</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 19.64266586 3.13266659 ， <math id="M239"><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext><</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 18.45733452 3.04799986 ， <math id="M240"><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 24.46866608 4.91066647 相对 <math id="M241"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 一致, <math id="M242"><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.32933331 3.72533321 <math id="M243"><mtext>∈</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 2.70933342 3.13266659 <math display="block" id="M244"><mi>C</mi><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.27666664 3.97933340 。若记 <math display="block" id="M245"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 49.10666656 5.24933338 则 <math id="M246"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi><mtext>∈</mtext><mi mathvariant="normal">Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></mrow></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 42.24866486 7.19666672 相对 <math id="M247"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 一致且是满足初值条件（6）的非齐次方程（1）的解。 证 令 <math display="block" id="M248"><mi>u</mi><mtext>=</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi></mrow></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 34.96733475 7.19666672 则显然 <math id="M249"><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 17.69533348 3.55599999 。因 <math id="M250"><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 24.46866608 4.91066647 相对 <math id="M251"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 一致且 <math id="M252"><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>C</mi><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 27.09333420 4.06400013 ，则对 <math id="M253"><mi>t</mi><mtext>∈</mtext><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 15.40933418 3.97933340 有 <math id="M254"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.23533440 5.24933338 <math id="M255"><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.29266644 4.65666676 相对 <math id="M256"><mi>τ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.60866666 2.79399991 一致并且关于 <math id="M257"><mi>τ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.60866666 2.79399991 连续。从而 <math id="M258"><mi>u</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 45.04266739 6.34999990 相对 <math id="M259"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 一致。由 <math display="block" id="M260"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>u</mi></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><msub><mrow><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>τ</mi><mtext>=</mtext><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 71.54333496 10.58333302 <math display="block" id="M261"><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.72533321 2.79399991 <math display="block" id="M262"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi><mtext> </mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 30.98800087 9.14400005 可知 <math id="M263"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.91266632 7.70466709 。从而 <math id="M264"><mi>u</mi><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 30.90333366 5.24933338 满足初值条件（6）。 由引理1，有 <math display="block" id="M265"><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mtext>=</mtext><msub><mrow><mfenced open="" close="|" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>τ</mi><mtext>=</mtext><mi>t</mi></mrow></msub><mtext>+</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 81.11066437 13.03866673 <math display="block" id="M266"><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi><mtext>-</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 77.47000122 9.14400005 <math display="block" id="M267"><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 75.60733032 7.19666672 <math display="block" id="M268"><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>-</mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mi>u</mi><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msubsup><mi>u</mi><mtext>-</mtext><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 51.47733307 6.09599972 从而 <math id="M269"><mi>u</mi><mtext>=</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi></mrow></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 34.96733475 7.19666672 满足非齐次方程（1）。证毕。 定理4 若 <math id="M270"><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 10.07533360 3.81000018 <math id="M271"><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 20.23533440 4.91066647 ， <math id="M272"><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.20799923 3.72533321 <math id="M273"><mi>C</mi><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 12.27666664 3.97933340 且 <math id="M274"><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 24.46866608 4.91066647 相对 <math id="M275"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 一致。则 <math id="M276"><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 25.06133270 4.65666676 相对 <math id="M277"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 一致且 <math id="M278"><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mfenced close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>,</mtext><mi>T</mi></mrow></mfenced></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 28.27866745 3.97933340 是满足初值条件（2）的非齐次方程（1）的解，并具有如下表示式 <math display="block" id="M279"><mi>u</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi></mrow></mfenced><mtext>=</mtext><msub><mo>∫</mo><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mrow><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>-</mtext><mi>y</mi><mtext>)</mtext></mrow><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>y</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>y</mi><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 57.82733154 7.53533316 <math display="block" id="M280"><msub><mo>∫</mo><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>-</mtext><mi>y</mi><mtext>)</mtext></mrow><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>y</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>y</mi><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 46.48200226 8.04333305 <math display="block" id="M281"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi></mrow><msub><mo>∫</mo><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mrow><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>-</mtext><mi>y</mi><mtext>)</mtext></mrow><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>y</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>y</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 53.76333237 7.70466709 证 由上述定理可知，满足初值条件（2）的非齐次方程（1）的解可以表示 <math display="block" id="M282"><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>g</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 48.42933273 8.29733276 <math display="block" id="M283"><mtext>+</mtext><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi></mrow></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 31.91933250 7.19666672 由 <math id="M284"><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>,</mtext><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 30.90333366 4.91066647 ，可知 <math id="M285"><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>g</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi></mrow></mfenced><mtext>,</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 29.80266571 8.29733276 <math id="M286"><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 13.29266644 4.65666676 相对 <math id="M287"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 一致，从而 <math id="M288"><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>∈</mtext><mi>Λ</mi><mtext>(</mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mtext>)</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 25.06133270 4.65666676 相对 <math id="M289"><mi>t</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.10066664 2.79399991 一致。由推论1可得 <math display="block" id="M290"><mi>u</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>=</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>g</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 52.91666412 8.29733276 <math display="block" id="M291"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>τ</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></msub><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 32.08866501 7.19666672 <math display="block" id="M292"><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 54.94866943 7.70466709 <math display="block" id="M293"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext><mi mathvariant="normal">*</mi><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>)</mtext></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi><mtext>=</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 36.06800079 6.94266701 <math display="block" id="M294"><msub><mo>∫</mo><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mrow><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>-</mtext><mi>y</mi><mtext>)</mtext></mrow><mi>g</mi><mtext>(</mtext><mi>y</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>y</mi><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 41.82533264 7.53533316 <math display="block" id="M295"><msub><mo>∫</mo><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mrow><mfrac><mrow><mtext>∂</mtext></mrow><mrow><mtext>∂</mtext><mi>t</mi></mrow></mfrac><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>-</mtext><mi>y</mi><mtext>)</mtext></mrow><mi>f</mi><mtext>(</mtext><mi>y</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>y</mi><mtext>+</mtext></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 46.48200226 8.04333305 <math display="block" id="M296"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>τ</mi></mrow><msub><mo>∫</mo><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></msub><mrow><mi>E</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>-</mtext><mi>τ</mi><mtext>,</mtext><mi>x</mi><mtext>-</mtext><mi>y</mi><mtext>)</mtext></mrow><mi>q</mi><mtext>(</mtext><mi>t</mi><mtext>,</mtext><mi>y</mi><mtext>)</mtext><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>y</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 53.76333237 7.70466709 证毕。 3　 结 语 1 本文利用 <math id="M297"><mi>n</mi></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 1.86266661 2.79399991 维局部域 <math id="M298"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 4.06400013 4.06400013 上的Laplacian算子构造了一类拟微分方程。 我们研究了当初值条件和非线性项满足一定条件下的柯西问题，利用齐次方程的基本解，给出了该类拟微分方程解的表示式。 参考文献 苏维宜 . 局部紧Vilenkin群上的拟微分算子与导数 [J]. 中国科学A辑 , 1992 ( 4 ): 351 - 359 . 局部紧Vilenkin群上的拟微分算子与导数 SU W Y . Pseudo-differential operators and derivatives on locally compact Vilenkin groups [J]. Science in China(Series A) , 1992 ( 4 ): 351 - 359 （Ch） . Pseudo-differential operators and derivatives on locally compact Vilenkin groups 苏维宜 . Vilenkin群上的GIbbs-Butzer微分算子 [J]. 中国科学A辑 , 1996 ( 26 ): 505 - 512 . Vilenkin群上的GIbbs-Butzer微分算子 SU W Y . Gibbs-Butzer differential operators on locally compact Vilenkin groups [J]. Science in China(Series A) , 1996 ( 26 ): 505 - 512 （Ch） . Gibbs-Butzer differential operators on locally compact Vilenkin groups SU W Y . Two dimensional wave equations with fractal boundary [J]. Applicable Analysis , 2011 , 90 ( 3-4 ): 533 - 543 . DOI: 10.1080/00036811003627559 http://dx.doi.org/10.1080/00036811003627559 . Two dimensional wave equations with fractal boundary 苏维宜 . 构建“分形微积分” [J]. 中国科学:数学 , 2015 , 45 （ 9 ）: 1587 - 1598 . DOI： 10.1360/N012015-00016 http://dx.doi.org/10.1360/N012015-00016 . 构建“分形微积分” SU W Y . Construction of fractal calculus [J]. Scientia Sinica Mathematica , 2015 , 45 ( 9 ): 1587 - 1598 .DOI：10.1360/N012015-00016 (Ch) . Construction of fractal calculus 苏维宜 . 局部域上的调和分析与分形分析及其应用 [M]. 北京 : 科学出版社 , 2017 . 局部域上的调和分析与分形分析及其应用 SU W Y . Harmonic Analysis and Fractal Analysis over Local Fields and Applications [M]. Beijing : Science Press , 2017(Ch) . Harmonic Analysis and Fractal Analysis over Local Fields and Applications 邱华 , 苏维宜 . p -adic域上的拟微分算子 [J]. 中国科学:数学 , 2011 , 41 （ 4 ）: 323 - 336 . DOI： 10.1360/012008-772 http://dx.doi.org/10.1360/012008-772 . p-adic域上的拟微分算子 QIU H , SU W Y . Pseudo-differential operators over p -adic fields [J]. Scientia Sinica Mathematica , 2011 , 41 ( 4 ): 323 - 336 . DOI：10.1360/012008-772 (Ch) . Pseudo-differential operators over p-adic fields LI Y , WU B . The p -adic differentiability of a class of Weierstrass type functions in local fields [J]. Nonlinear Analysis , 2012 , 75 : 46 – 54 . DOI： 10.1016/j.na.2011.07.069 http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2011.07.069 . The p-adic differentiability of a class of Weierstrass type functions in local fields LI Y , QIU H . p -adic Laplacian in local fields [J]. Nonlinear Analysis , 2016 , 139 : 131 – 151 . DOI： 10.1016/j.na.2016.02.025 http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2016.02.025 . p-adic Laplacian in local fields WU B , LI Y , SU W Y . Cauchy problems for evolutionary pseudodifferential equations over-adic field [J]. Abstract and Applied Analysis , 2014 , 2014 : 1 – 7 . DOI： 10.1155/2014/490849 http://dx.doi.org/10.1155/2014/490849 . Cauchy problems for evolutionary pseudodifferential equations over-adic field 吴波 . p -adic域上一类拟微分方程的定解问题 [J]. 云南大学学报（自然科学版） , 2014 , 36 （ 2 ）: 149 - 156 . DOI： 10.7540/j.ynu.20130302 http://dx.doi.org/10.7540/j.ynu.20130302 . p-adic域上一类拟微分方程的定解问题 WU B . Explicit solutions to a class of pseudodifferential equations over p -adic field [J]. Journal of Yunnan University（Natural Sciences Edition) , 2014 , 36 （ 2 ）: 149 - 156 . DOI：10.7540/j.ynu.20130302 (Ch) . Explicit solutions to a class of pseudodifferential equations over p-adic field WU B . Fundamental solutions of Cauchy problem for a class of parabolic equations over p -adic field [C]// BCGIN 13 Proceedings of the 2013 International Conference on Business Computing and Global Informatization . Washington D C : IEEE Computer Society , 2015 : 706 - 709 . DOI：10.1063/1.4952036. Fundamental solutions of Cauchy problem for a class of parabolic equations over p-adic field QIU H , SU W Y . 3-adic Cantor function on local fields and its p -adic derivative [J]. Chaos , Soliton & Fractals , 2007 , 33 : 1625 - 1634 . 3-adic Cantor function on local fields and its p-adic derivative QIU H , SU W Y . The connection between the orders of p -adic calculus and the dimensions of Weierstrass type function in local fields [J]. Fractals , 2007 , 15 ( 3 ): 279 - 287 . The connection between the orders of p-adic calculus and the dimensions of Weierstrass type function in local fields 10.14188/j.1671-8836.2019.06.012 O 175.2 A 1671-8836（2019）06-0616-05 WU Bo,QIAN Dandan.Cauchy Problem for a Class of Pseudo-Differential Equations on <math id="M299"><mtext> </mtext><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> http://notExist.jpg http://notExist.jpg 3.38666677 2.70933342 [J]. J. Wuhan Univ. （ Nat. Sci. Ed ）,2019,65(6):616-620. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.012(Ch). WU Bo,QIAN Dandan.Cauchy Problem for a Class of Pseudo-Differential Equations on Qpn[J].J. Wuhan Univ.（Nat. Sci. Ed）,2019,65(6):616-620. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.012(Ch). 吴波,钱丹丹. <math id="M1"><msubsup><mrow><mi mathvariant="double-struck">Q</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></math> 上一类拟微分方程的柯西问题[J].武汉大学学报（理学版）,2019,65(6):616-620. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.001 吴波,钱丹丹.Qpn上一类拟微分方程的柯西问题[J].武汉大学学报（理学版）,2019,65(6):616-620. DOI:10.14188/j.1671-8836.2019.06.001 国家自然科学青年基金（11701270），江苏省高校自然科学基金(17KJB110003), 江苏省政府留学奖学金 2018-11-27 2019-12-24 2020-05-21 武汉大学学报（理学版） 6 65